$$$\left(a t - b t\right)^{2}$$$ の $$$t$$$ に関する積分

$$$\int \left(a t - b t\right)^{2}\, dt$$$ を求めよ。

$$$u=a t - b t$$$ とする。

すると $$$du=\left(a t - b t\right)^{\prime }dt = \left(a - b\right) dt$$$（手順は»で確認できます）、$$$dt = \frac{du}{a - b}$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{\left(a t - b t\right)^{2} d t}}} = {\color{red}{\int{\frac{u^{2}}{a - b} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{a - b}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = u^{2}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{u^{2}}{a - b} d u}}} = {\color{red}{\frac{\int{u^{2} d u}}{a - b}}}$$

$$$n=2$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$\frac{{\color{red}{\int{u^{2} d u}}}}{a - b}=\frac{{\color{red}{\frac{u^{1 + 2}}{1 + 2}}}}{a - b}=\frac{{\color{red}{\left(\frac{u^{3}}{3}\right)}}}{a - b}$$

次のことを思い出してください $$$u=a t - b t$$$:

$$\frac{{\color{red}{u}}^{3}}{3 \left(a - b\right)} = \frac{{\color{red}{\left(a t - b t\right)}}^{3}}{3 \left(a - b\right)}$$

したがって、

$$\int{\left(a t - b t\right)^{2} d t} = \frac{\left(a t - b t\right)^{3}}{3 \left(a - b\right)}$$

簡単化せよ:

$$\int{\left(a t - b t\right)^{2} d t} = \frac{t^{3} \left(- a + b\right)^{2}}{3}$$

積分定数を加える:

$$\int{\left(a t - b t\right)^{2} d t} = \frac{t^{3} \left(- a + b\right)^{2}}{3}+C$$

$$$\int \left(a t - b t\right)^{2}\, dt = \frac{t^{3} \left(- a + b\right)^{2}}{3} + C$$$A