$$$\left(y - 4\right)^{2}$$$の積分

$$$\int \left(y - 4\right)^{2}\, dy$$$ を求めよ。

$$$u=y - 4$$$ とする。

すると $$$du=\left(y - 4\right)^{\prime }dy = 1 dy$$$（手順は»で確認できます）、$$$dy = du$$$ となります。

この積分は次のように書き換えられる

$${\color{red}{\int{\left(y - 4\right)^{2} d y}}} = {\color{red}{\int{u^{2} d u}}}$$

$$$n=2$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$${\color{red}{\int{u^{2} d u}}}={\color{red}{\frac{u^{1 + 2}}{1 + 2}}}={\color{red}{\left(\frac{u^{3}}{3}\right)}}$$

次のことを思い出してください $$$u=y - 4$$$:

$$\frac{{\color{red}{u}}^{3}}{3} = \frac{{\color{red}{\left(y - 4\right)}}^{3}}{3}$$

したがって、

$$\int{\left(y - 4\right)^{2} d y} = \frac{\left(y - 4\right)^{3}}{3}$$

積分定数を加える:

$$\int{\left(y - 4\right)^{2} d y} = \frac{\left(y - 4\right)^{3}}{3}+C$$

$$$\int \left(y - 4\right)^{2}\, dy = \frac{\left(y - 4\right)^{3}}{3} + C$$$A