$$$\left(x - 4\right)^{7}$$$の積分

$$$\int \left(x - 4\right)^{7}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=x - 4$$$ とする。

すると $$$du=\left(x - 4\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = du$$$ となります。

積分は次のようになります

$${\color{red}{\int{\left(x - 4\right)^{7} d x}}} = {\color{red}{\int{u^{7} d u}}}$$

$$$n=7$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$${\color{red}{\int{u^{7} d u}}}={\color{red}{\frac{u^{1 + 7}}{1 + 7}}}={\color{red}{\left(\frac{u^{8}}{8}\right)}}$$

次のことを思い出してください $$$u=x - 4$$$:

$$\frac{{\color{red}{u}}^{8}}{8} = \frac{{\color{red}{\left(x - 4\right)}}^{8}}{8}$$

したがって、

$$\int{\left(x - 4\right)^{7} d x} = \frac{\left(x - 4\right)^{8}}{8}$$

積分定数を加える:

$$\int{\left(x - 4\right)^{7} d x} = \frac{\left(x - 4\right)^{8}}{8}+C$$

$$$\int \left(x - 4\right)^{7}\, dx = \frac{\left(x - 4\right)^{8}}{8} + C$$$A