$$$\left(x^{2} - 128 x\right) e^{2 x}$$$の積分

$$$\int \left(x^{2} - 128 x\right) e^{2 x}\, dx$$$ を求めよ。

積分 $$$\int{\left(x^{2} - 128 x\right) e^{2 x} d x}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$を用いてください。

$$$\operatorname{u}=x \left(x - 128\right)$$$ と $$$\operatorname{dv}=e^{2 x} dx$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{du}=\left(x \left(x - 128\right)\right)^{\prime }dx=\left(2 x - 128\right) dx$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{v}=\int{e^{2 x} d x}=\frac{e^{2 x}}{2}$$$（手順は»を参照）。

この積分は次のように書き換えられる

$${\color{red}{\int{\left(x^{2} - 128 x\right) e^{2 x} d x}}}={\color{red}{\left(x \left(x - 128\right) \cdot \frac{e^{2 x}}{2}-\int{\frac{e^{2 x}}{2} \cdot \left(2 x - 128\right) d x}\right)}}={\color{red}{\left(\frac{x \left(x - 128\right) e^{2 x}}{2} - \int{\left(x - 64\right) e^{2 x} d x}\right)}}$$

積分 $$$\int{\left(x - 64\right) e^{2 x} d x}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$を用いてください。

$$$\operatorname{u}=x - 64$$$ と $$$\operatorname{dv}=e^{2 x} dx$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{du}=\left(x - 64\right)^{\prime }dx=1 dx$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{v}=\int{e^{2 x} d x}=\frac{e^{2 x}}{2}$$$（手順は»を参照）。

この積分は次のように書き換えられる

$$\frac{x \left(x - 128\right) e^{2 x}}{2} - {\color{red}{\int{\left(x - 64\right) e^{2 x} d x}}}=\frac{x \left(x - 128\right) e^{2 x}}{2} - {\color{red}{\left(\left(x - 64\right) \cdot \frac{e^{2 x}}{2}-\int{\frac{e^{2 x}}{2} \cdot 1 d x}\right)}}=\frac{x \left(x - 128\right) e^{2 x}}{2} - {\color{red}{\left(\frac{\left(x - 64\right) e^{2 x}}{2} - \int{\frac{e^{2 x}}{2} d x}\right)}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=\frac{1}{2}$$$ と $$$f{\left(x \right)} = e^{2 x}$$$ に対して適用する:

$$\frac{x \left(x - 128\right) e^{2 x}}{2} - \frac{\left(x - 64\right) e^{2 x}}{2} + {\color{red}{\int{\frac{e^{2 x}}{2} d x}}} = \frac{x \left(x - 128\right) e^{2 x}}{2} - \frac{\left(x - 64\right) e^{2 x}}{2} + {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{2 x} d x}}{2}\right)}}$$

$$$u=2 x$$$ とする。

すると $$$du=\left(2 x\right)^{\prime }dx = 2 dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = \frac{du}{2}$$$ となります。

積分は次のようになります

$$\frac{x \left(x - 128\right) e^{2 x}}{2} - \frac{\left(x - 64\right) e^{2 x}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{e^{2 x} d x}}}}{2} = \frac{x \left(x - 128\right) e^{2 x}}{2} - \frac{\left(x - 64\right) e^{2 x}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{2} d u}}}}{2}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{2}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ に対して適用する:

$$\frac{x \left(x - 128\right) e^{2 x}}{2} - \frac{\left(x - 64\right) e^{2 x}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{2} d u}}}}{2} = \frac{x \left(x - 128\right) e^{2 x}}{2} - \frac{\left(x - 64\right) e^{2 x}}{2} + \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{e^{u} d u}}{2}\right)}}}{2}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$です:

$$\frac{x \left(x - 128\right) e^{2 x}}{2} - \frac{\left(x - 64\right) e^{2 x}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{4} = \frac{x \left(x - 128\right) e^{2 x}}{2} - \frac{\left(x - 64\right) e^{2 x}}{2} + \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{4}$$

次のことを思い出してください $$$u=2 x$$$:

$$\frac{x \left(x - 128\right) e^{2 x}}{2} - \frac{\left(x - 64\right) e^{2 x}}{2} + \frac{e^{{\color{red}{u}}}}{4} = \frac{x \left(x - 128\right) e^{2 x}}{2} - \frac{\left(x - 64\right) e^{2 x}}{2} + \frac{e^{{\color{red}{\left(2 x\right)}}}}{4}$$

したがって、

$$\int{\left(x^{2} - 128 x\right) e^{2 x} d x} = \frac{x \left(x - 128\right) e^{2 x}}{2} - \frac{\left(x - 64\right) e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{4}$$

簡単化せよ:

$$\int{\left(x^{2} - 128 x\right) e^{2 x} d x} = \frac{\left(2 x^{2} - 258 x + 129\right) e^{2 x}}{4}$$

積分定数を加える:

$$\int{\left(x^{2} - 128 x\right) e^{2 x} d x} = \frac{\left(2 x^{2} - 258 x + 129\right) e^{2 x}}{4}+C$$

$$$\int \left(x^{2} - 128 x\right) e^{2 x}\, dx = \frac{\left(2 x^{2} - 258 x + 129\right) e^{2 x}}{4} + C$$$A