$$$\left(u + v\right)^{c - 1}$$$ の $$$u$$$ に関する積分

$$$\int \left(u + v\right)^{c - 1}\, du$$$ を求めよ。

$$$w=u + v$$$ とする。

すると $$$dw=\left(u + v\right)^{\prime }du = 1 du$$$（手順は»で確認できます）、$$$du = dw$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{\left(u + v\right)^{c - 1} d u}}} = {\color{red}{\int{w^{c - 1} d w}}}$$

$$$n=c - 1$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int w^{n}\, dw = \frac{w^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$${\color{red}{\int{w^{c - 1} d w}}}={\color{red}{\frac{w^{\left(c - 1\right) + 1}}{\left(c - 1\right) + 1}}}={\color{red}{\frac{w^{c}}{c}}}$$

次のことを思い出してください $$$w=u + v$$$:

$$\frac{{\color{red}{w}}^{c}}{c} = \frac{{\color{red}{\left(u + v\right)}}^{c}}{c}$$

したがって、

$$\int{\left(u + v\right)^{c - 1} d u} = \frac{\left(u + v\right)^{c}}{c}$$

積分定数を加える:

$$\int{\left(u + v\right)^{c - 1} d u} = \frac{\left(u + v\right)^{c}}{c}+C$$

$$$\int \left(u + v\right)^{c - 1}\, du = \frac{\left(u + v\right)^{c}}{c} + C$$$A