$$$\sin^{4}{\left(3 x \right)}$$$の積分

$$$\int \sin^{4}{\left(3 x \right)}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=3 x$$$ とする。

すると $$$du=\left(3 x\right)^{\prime }dx = 3 dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = \frac{du}{3}$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{\sin^{4}{\left(3 x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sin^{4}{\left(u \right)}}{3} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{3}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \sin^{4}{\left(u \right)}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{\sin^{4}{\left(u \right)}}{3} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\sin^{4}{\left(u \right)} d u}}{3}\right)}}$$

冪低減公式 $$$\sin^{4}{\left(\alpha \right)} = - \frac{\cos{\left(2 \alpha \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(4 \alpha \right)}}{8} + \frac{3}{8}$$$ を $$$\alpha= u $$$ に適用する:

$$\frac{{\color{red}{\int{\sin^{4}{\left(u \right)} d u}}}}{3} = \frac{{\color{red}{\int{\left(- \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(4 u \right)}}{8} + \frac{3}{8}\right)d u}}}}{3}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{8}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = - 4 \cos{\left(2 u \right)} + \cos{\left(4 u \right)} + 3$$$ に対して適用する:

$$\frac{{\color{red}{\int{\left(- \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(4 u \right)}}{8} + \frac{3}{8}\right)d u}}}}{3} = \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\left(- 4 \cos{\left(2 u \right)} + \cos{\left(4 u \right)} + 3\right)d u}}{8}\right)}}}{3}$$

項別に積分せよ:

$$\frac{{\color{red}{\int{\left(- 4 \cos{\left(2 u \right)} + \cos{\left(4 u \right)} + 3\right)d u}}}}{24} = \frac{{\color{red}{\left(\int{3 d u} - \int{4 \cos{\left(2 u \right)} d u} + \int{\cos{\left(4 u \right)} d u}\right)}}}{24}$$

$$$c=3$$$ に対して定数則 $$$\int c\, du = c u$$$ を適用する:

$$- \frac{\int{4 \cos{\left(2 u \right)} d u}}{24} + \frac{\int{\cos{\left(4 u \right)} d u}}{24} + \frac{{\color{red}{\int{3 d u}}}}{24} = - \frac{\int{4 \cos{\left(2 u \right)} d u}}{24} + \frac{\int{\cos{\left(4 u \right)} d u}}{24} + \frac{{\color{red}{\left(3 u\right)}}}{24}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=4$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(2 u \right)}$$$ に対して適用する:

$$\frac{u}{8} + \frac{\int{\cos{\left(4 u \right)} d u}}{24} - \frac{{\color{red}{\int{4 \cos{\left(2 u \right)} d u}}}}{24} = \frac{u}{8} + \frac{\int{\cos{\left(4 u \right)} d u}}{24} - \frac{{\color{red}{\left(4 \int{\cos{\left(2 u \right)} d u}\right)}}}{24}$$

$$$v=2 u$$$ とする。

すると $$$dv=\left(2 u\right)^{\prime }du = 2 du$$$（手順は»で確認できます）、$$$du = \frac{dv}{2}$$$ となります。

したがって、

$$\frac{u}{8} + \frac{\int{\cos{\left(4 u \right)} d u}}{24} - \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(2 u \right)} d u}}}}{6} = \frac{u}{8} + \frac{\int{\cos{\left(4 u \right)} d u}}{24} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(v \right)}}{2} d v}}}}{6}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$ を、$$$c=\frac{1}{2}$$$ と $$$f{\left(v \right)} = \cos{\left(v \right)}$$$ に対して適用する:

$$\frac{u}{8} + \frac{\int{\cos{\left(4 u \right)} d u}}{24} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(v \right)}}{2} d v}}}}{6} = \frac{u}{8} + \frac{\int{\cos{\left(4 u \right)} d u}}{24} - \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(v \right)} d v}}{2}\right)}}}{6}$$

余弦の積分は$$$\int{\cos{\left(v \right)} d v} = \sin{\left(v \right)}$$$:

$$\frac{u}{8} + \frac{\int{\cos{\left(4 u \right)} d u}}{24} - \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(v \right)} d v}}}}{12} = \frac{u}{8} + \frac{\int{\cos{\left(4 u \right)} d u}}{24} - \frac{{\color{red}{\sin{\left(v \right)}}}}{12}$$

次のことを思い出してください $$$v=2 u$$$:

$$\frac{u}{8} + \frac{\int{\cos{\left(4 u \right)} d u}}{24} - \frac{\sin{\left({\color{red}{v}} \right)}}{12} = \frac{u}{8} + \frac{\int{\cos{\left(4 u \right)} d u}}{24} - \frac{\sin{\left({\color{red}{\left(2 u\right)}} \right)}}{12}$$

$$$v=4 u$$$ とする。

すると $$$dv=\left(4 u\right)^{\prime }du = 4 du$$$（手順は»で確認できます）、$$$du = \frac{dv}{4}$$$ となります。

この積分は次のように書き換えられる

$$\frac{u}{8} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{12} + \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(4 u \right)} d u}}}}{24} = \frac{u}{8} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{12} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(v \right)}}{4} d v}}}}{24}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$ を、$$$c=\frac{1}{4}$$$ と $$$f{\left(v \right)} = \cos{\left(v \right)}$$$ に対して適用する:

$$\frac{u}{8} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{12} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(v \right)}}{4} d v}}}}{24} = \frac{u}{8} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{12} + \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(v \right)} d v}}{4}\right)}}}{24}$$

余弦の積分は$$$\int{\cos{\left(v \right)} d v} = \sin{\left(v \right)}$$$:

$$\frac{u}{8} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{12} + \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(v \right)} d v}}}}{96} = \frac{u}{8} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{12} + \frac{{\color{red}{\sin{\left(v \right)}}}}{96}$$

次のことを思い出してください $$$v=4 u$$$:

$$\frac{u}{8} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{12} + \frac{\sin{\left({\color{red}{v}} \right)}}{96} = \frac{u}{8} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{12} + \frac{\sin{\left({\color{red}{\left(4 u\right)}} \right)}}{96}$$

次のことを思い出してください $$$u=3 x$$$:

$$- \frac{\sin{\left(2 {\color{red}{u}} \right)}}{12} + \frac{\sin{\left(4 {\color{red}{u}} \right)}}{96} + \frac{{\color{red}{u}}}{8} = - \frac{\sin{\left(2 {\color{red}{\left(3 x\right)}} \right)}}{12} + \frac{\sin{\left(4 {\color{red}{\left(3 x\right)}} \right)}}{96} + \frac{{\color{red}{\left(3 x\right)}}}{8}$$

したがって、

$$\int{\sin^{4}{\left(3 x \right)} d x} = \frac{3 x}{8} - \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{12} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{96}$$

簡単化せよ:

$$\int{\sin^{4}{\left(3 x \right)} d x} = \frac{36 x - 8 \sin{\left(6 x \right)} + \sin{\left(12 x \right)}}{96}$$

積分定数を加える:

$$\int{\sin^{4}{\left(3 x \right)} d x} = \frac{36 x - 8 \sin{\left(6 x \right)} + \sin{\left(12 x \right)}}{96}+C$$

$$$\int \sin^{4}{\left(3 x \right)}\, dx = \frac{36 x - 8 \sin{\left(6 x \right)} + \sin{\left(12 x \right)}}{96} + C$$$A