$$$\frac{\ln^{2}\left(x^{2}\right)}{x}$$$の積分

$$$\int \frac{\ln^{2}\left(x^{2}\right)}{x}\, dx$$$ を求めよ。

入力は次のように書き換えられます: $$$\int{\frac{\ln{\left(x^{2} \right)}^{2}}{x} d x}=\int{\frac{4 \ln{\left(x \right)}^{2}}{x} d x}$$$。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=4$$$ と $$$f{\left(x \right)} = \frac{\ln{\left(x \right)}^{2}}{x}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{4 \ln{\left(x \right)}^{2}}{x} d x}}} = {\color{red}{\left(4 \int{\frac{\ln{\left(x \right)}^{2}}{x} d x}\right)}}$$

$$$u=\ln{\left(x \right)}$$$ とする。

すると $$$du=\left(\ln{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{x}$$$（手順は»で確認できます）、$$$\frac{dx}{x} = du$$$ となります。

この積分は次のように書き換えられる

$$4 {\color{red}{\int{\frac{\ln{\left(x \right)}^{2}}{x} d x}}} = 4 {\color{red}{\int{u^{2} d u}}}$$

$$$n=2$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$4 {\color{red}{\int{u^{2} d u}}}=4 {\color{red}{\frac{u^{1 + 2}}{1 + 2}}}=4 {\color{red}{\left(\frac{u^{3}}{3}\right)}}$$

次のことを思い出してください $$$u=\ln{\left(x \right)}$$$:

$$\frac{4 {\color{red}{u}}^{3}}{3} = \frac{4 {\color{red}{\ln{\left(x \right)}}}^{3}}{3}$$

したがって、

$$\int{\frac{4 \ln{\left(x \right)}^{2}}{x} d x} = \frac{4 \ln{\left(x \right)}^{3}}{3}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{4 \ln{\left(x \right)}^{2}}{x} d x} = \frac{4 \ln{\left(x \right)}^{3}}{3}+C$$

$$$\int \frac{\ln^{2}\left(x^{2}\right)}{x}\, dx = \frac{4 \ln^{3}\left(x\right)}{3} + C$$$A