$$$\left(4 x - 2\right) e^{x^{2} - x}$$$の積分

$$$\int \left(4 x - 2\right) e^{x^{2} - x}\, dx$$$ を求めよ。

入力は次のように書き換えられます: $$$\int{\left(4 x - 2\right) e^{x^{2} - x} d x}=\int{\left(4 x - 2\right) e^{x \left(x - 1\right)} d x}$$$。

$$$u=x \left(x - 1\right)$$$ とする。

すると $$$du=\left(x \left(x - 1\right)\right)^{\prime }dx = \left(2 x - 1\right) dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$\left(2 x - 1\right) dx = du$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{\left(4 x - 2\right) e^{x \left(x - 1\right)} d x}}} = {\color{red}{\int{2 e^{u} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=2$$$ と $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{2 e^{u} d u}}} = {\color{red}{\left(2 \int{e^{u} d u}\right)}}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$です:

$$2 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = 2 {\color{red}{e^{u}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=x \left(x - 1\right)$$$:

$$2 e^{{\color{red}{u}}} = 2 e^{{\color{red}{x \left(x - 1\right)}}}$$

したがって、

$$\int{\left(4 x - 2\right) e^{x \left(x - 1\right)} d x} = 2 e^{x \left(x - 1\right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{\left(4 x - 2\right) e^{x \left(x - 1\right)} d x} = 2 e^{x \left(x - 1\right)}+C$$

$$$\int \left(4 x - 2\right) e^{x^{2} - x}\, dx = 2 e^{x \left(x - 1\right)} + C$$$A