$$$e^{4 x} + 5 e^{- x}$$$の積分

$$$\int \left(e^{4 x} + 5 e^{- x}\right)\, dx$$$ を求めよ。

項別に積分せよ:

$${\color{red}{\int{\left(e^{4 x} + 5 e^{- x}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{5 e^{- x} d x} + \int{e^{4 x} d x}\right)}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=5$$$ と $$$f{\left(x \right)} = e^{- x}$$$ に対して適用する:

$$\int{e^{4 x} d x} + {\color{red}{\int{5 e^{- x} d x}}} = \int{e^{4 x} d x} + {\color{red}{\left(5 \int{e^{- x} d x}\right)}}$$

$$$u=- x$$$ とする。

すると $$$du=\left(- x\right)^{\prime }dx = - dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = - du$$$ となります。

したがって、

$$\int{e^{4 x} d x} + 5 {\color{red}{\int{e^{- x} d x}}} = \int{e^{4 x} d x} + 5 {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=-1$$$ と $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ に対して適用する:

$$\int{e^{4 x} d x} + 5 {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}} = \int{e^{4 x} d x} + 5 {\color{red}{\left(- \int{e^{u} d u}\right)}}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$です:

$$\int{e^{4 x} d x} - 5 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = \int{e^{4 x} d x} - 5 {\color{red}{e^{u}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=- x$$$:

$$\int{e^{4 x} d x} - 5 e^{{\color{red}{u}}} = \int{e^{4 x} d x} - 5 e^{{\color{red}{\left(- x\right)}}}$$

$$$u=4 x$$$ とする。

すると $$$du=\left(4 x\right)^{\prime }dx = 4 dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = \frac{du}{4}$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{e^{4 x} d x}}} - 5 e^{- x} = {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{4} d u}}} - 5 e^{- x}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{4}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{4} d u}}} - 5 e^{- x} = {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{u} d u}}{4}\right)}} - 5 e^{- x}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$です:

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{4} - 5 e^{- x} = \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{4} - 5 e^{- x}$$

次のことを思い出してください $$$u=4 x$$$:

$$\frac{e^{{\color{red}{u}}}}{4} - 5 e^{- x} = \frac{e^{{\color{red}{\left(4 x\right)}}}}{4} - 5 e^{- x}$$

したがって、

$$\int{\left(e^{4 x} + 5 e^{- x}\right)d x} = \frac{e^{4 x}}{4} - 5 e^{- x}$$

簡単化せよ:

$$\int{\left(e^{4 x} + 5 e^{- x}\right)d x} = \frac{\left(e^{5 x} - 20\right) e^{- x}}{4}$$

積分定数を加える:

$$\int{\left(e^{4 x} + 5 e^{- x}\right)d x} = \frac{\left(e^{5 x} - 20\right) e^{- x}}{4}+C$$

$$$\int \left(e^{4 x} + 5 e^{- x}\right)\, dx = \frac{\left(e^{5 x} - 20\right) e^{- x}}{4} + C$$$A