$$$e^{- t} \cos{\left(t \right)}$$$の積分

$$$\int e^{- t} \cos{\left(t \right)}\, dt$$$ を求めよ。

積分 $$$\int{e^{- t} \cos{\left(t \right)} d t}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$を用いてください。

$$$\operatorname{u}=\cos{\left(t \right)}$$$ と $$$\operatorname{dv}=e^{- t} dt$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{du}=\left(\cos{\left(t \right)}\right)^{\prime }dt=- \sin{\left(t \right)} dt$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{v}=\int{e^{- t} d t}=- e^{- t}$$$（手順は»を参照）。

したがって、

$${\color{red}{\int{e^{- t} \cos{\left(t \right)} d t}}}={\color{red}{\left(\cos{\left(t \right)} \cdot \left(- e^{- t}\right)-\int{\left(- e^{- t}\right) \cdot \left(- \sin{\left(t \right)}\right) d t}\right)}}={\color{red}{\left(- \int{e^{- t} \sin{\left(t \right)} d t} - e^{- t} \cos{\left(t \right)}\right)}}$$

積分 $$$\int{e^{- t} \sin{\left(t \right)} d t}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$を用いてください。

$$$\operatorname{u}=\sin{\left(t \right)}$$$ と $$$\operatorname{dv}=e^{- t} dt$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{du}=\left(\sin{\left(t \right)}\right)^{\prime }dt=\cos{\left(t \right)} dt$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{v}=\int{e^{- t} d t}=- e^{- t}$$$（手順は»を参照）。

したがって、

$$- {\color{red}{\int{e^{- t} \sin{\left(t \right)} d t}}} - e^{- t} \cos{\left(t \right)}=- {\color{red}{\left(\sin{\left(t \right)} \cdot \left(- e^{- t}\right)-\int{\left(- e^{- t}\right) \cdot \cos{\left(t \right)} d t}\right)}} - e^{- t} \cos{\left(t \right)}=- {\color{red}{\left(- \int{\left(- e^{- t} \cos{\left(t \right)}\right)d t} - e^{- t} \sin{\left(t \right)}\right)}} - e^{- t} \cos{\left(t \right)}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$ を、$$$c=-1$$$ と $$$f{\left(t \right)} = e^{- t} \cos{\left(t \right)}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\left(- e^{- t} \cos{\left(t \right)}\right)d t}}} + e^{- t} \sin{\left(t \right)} - e^{- t} \cos{\left(t \right)} = {\color{red}{\left(- \int{e^{- t} \cos{\left(t \right)} d t}\right)}} + e^{- t} \sin{\left(t \right)} - e^{- t} \cos{\left(t \right)}$$

すでに見た積分に帰着しました。

したがって、積分に関する次の簡単な等式を得ました:

$$\int{e^{- t} \cos{\left(t \right)} d t} = - \int{e^{- t} \cos{\left(t \right)} d t} + e^{- t} \sin{\left(t \right)} - e^{- t} \cos{\left(t \right)}$$

これを解くと、次のようになります。

$$\int{e^{- t} \cos{\left(t \right)} d t} = \frac{\left(\sin{\left(t \right)} - \cos{\left(t \right)}\right) e^{- t}}{2}$$

したがって、

$$\int{e^{- t} \cos{\left(t \right)} d t} = \frac{\left(\sin{\left(t \right)} - \cos{\left(t \right)}\right) e^{- t}}{2}$$

簡単化せよ:

$$\int{e^{- t} \cos{\left(t \right)} d t} = - \frac{\sqrt{2} e^{- t} \cos{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}$$

積分定数を加える:

$$\int{e^{- t} \cos{\left(t \right)} d t} = - \frac{\sqrt{2} e^{- t} \cos{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}+C$$

$$$\int e^{- t} \cos{\left(t \right)}\, dt = - \frac{\sqrt{2} e^{- t} \cos{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)}}{2} + C$$$A