$$$\frac{d}{2 \sqrt{x - 3}}$$$ の $$$x$$$ に関する積分

$$$\int \frac{d}{2 \sqrt{x - 3}}\, dx$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=\frac{d}{2}$$$ と $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{\sqrt{x - 3}}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{d}{2 \sqrt{x - 3}} d x}}} = {\color{red}{\left(\frac{d \int{\frac{1}{\sqrt{x - 3}} d x}}{2}\right)}}$$

$$$u=x - 3$$$ とする。

すると $$$du=\left(x - 3\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = du$$$ となります。

この積分は次のように書き換えられる

$$\frac{d {\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{x - 3}} d x}}}}{2} = \frac{d {\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{u}} d u}}}}{2}$$

$$$n=- \frac{1}{2}$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$\frac{d {\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{u}} d u}}}}{2}=\frac{d {\color{red}{\int{u^{- \frac{1}{2}} d u}}}}{2}=\frac{d {\color{red}{\frac{u^{- \frac{1}{2} + 1}}{- \frac{1}{2} + 1}}}}{2}=\frac{d {\color{red}{\left(2 u^{\frac{1}{2}}\right)}}}{2}=\frac{d {\color{red}{\left(2 \sqrt{u}\right)}}}{2}$$

次のことを思い出してください $$$u=x - 3$$$:

$$d \sqrt{{\color{red}{u}}} = d \sqrt{{\color{red}{\left(x - 3\right)}}}$$

したがって、

$$\int{\frac{d}{2 \sqrt{x - 3}} d x} = d \sqrt{x - 3}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{d}{2 \sqrt{x - 3}} d x} = d \sqrt{x - 3}+C$$

$$$\int \frac{d}{2 \sqrt{x - 3}}\, dx = d \sqrt{x - 3} + C$$$A