$$$\frac{d f}{x}$$$ の $$$x$$$ に関する積分

$$$\int \frac{d f}{x}\, dx$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=d f$$$ と $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{d f}{x} d x}}} = {\color{red}{d f \int{\frac{1}{x} d x}}}$$

$$$\frac{1}{x}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{x} d x} = \ln{\left(\left|{x}\right| \right)}$$$ です:

$$d f {\color{red}{\int{\frac{1}{x} d x}}} = d f {\color{red}{\ln{\left(\left|{x}\right| \right)}}}$$

したがって、

$$\int{\frac{d f}{x} d x} = d f \ln{\left(\left|{x}\right| \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{d f}{x} d x} = d f \ln{\left(\left|{x}\right| \right)}+C$$

$$$\int \frac{d f}{x}\, dx = d f \ln\left(\left|{x}\right|\right) + C$$$A