$$$\left(d + e x\right)^{7}$$$ の $$$x$$$ に関する積分

$$$\int \left(d + e x\right)^{7}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=d + e x$$$ とする。

すると $$$du=\left(d + e x\right)^{\prime }dx = e dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = \frac{du}{e}$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{\left(d + e x\right)^{7} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{u^{7}}{e} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=e^{-1}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = u^{7}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{u^{7}}{e} d u}}} = {\color{red}{\frac{\int{u^{7} d u}}{e}}}$$

$$$n=7$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$\frac{{\color{red}{\int{u^{7} d u}}}}{e}=\frac{{\color{red}{\frac{u^{1 + 7}}{1 + 7}}}}{e}=\frac{{\color{red}{\left(\frac{u^{8}}{8}\right)}}}{e}$$

次のことを思い出してください $$$u=d + e x$$$:

$$\frac{{\color{red}{u}}^{8}}{8 e} = \frac{{\color{red}{\left(d + e x\right)}}^{8}}{8 e}$$

したがって、

$$\int{\left(d + e x\right)^{7} d x} = \frac{\left(d + e x\right)^{8}}{8 e}$$

積分定数を加える:

$$\int{\left(d + e x\right)^{7} d x} = \frac{\left(d + e x\right)^{8}}{8 e}+C$$

$$$\int \left(d + e x\right)^{7}\, dx = \frac{\left(d + e x\right)^{8}}{8 e} + C$$$A