$$$\left(- \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)^{2}$$$の積分

$$$\int \left(- \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)^{2}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=\frac{x}{2}$$$ とする。

すると $$$du=\left(\frac{x}{2}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{2}$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = 2 du$$$ となります。

積分は次のようになります

$${\color{red}{\int{\left(- \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)^{2} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(2 - 2 \sin{\left(2 u \right)}\right)d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=2$$$ と $$$f{\left(u \right)} = 1 - \sin{\left(2 u \right)}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\left(2 - 2 \sin{\left(2 u \right)}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(2 \int{\left(1 - \sin{\left(2 u \right)}\right)d u}\right)}}$$

項別に積分せよ:

$$2 {\color{red}{\int{\left(1 - \sin{\left(2 u \right)}\right)d u}}} = 2 {\color{red}{\left(\int{1 d u} - \int{\sin{\left(2 u \right)} d u}\right)}}$$

$$$c=1$$$ に対して定数則 $$$\int c\, du = c u$$$ を適用する:

$$- 2 \int{\sin{\left(2 u \right)} d u} + 2 {\color{red}{\int{1 d u}}} = - 2 \int{\sin{\left(2 u \right)} d u} + 2 {\color{red}{u}}$$

$$$v=2 u$$$ とする。

すると $$$dv=\left(2 u\right)^{\prime }du = 2 du$$$（手順は»で確認できます）、$$$du = \frac{dv}{2}$$$ となります。

積分は次のようになります

$$2 u - 2 {\color{red}{\int{\sin{\left(2 u \right)} d u}}} = 2 u - 2 {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(v \right)}}{2} d v}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$ を、$$$c=\frac{1}{2}$$$ と $$$f{\left(v \right)} = \sin{\left(v \right)}$$$ に対して適用する:

$$2 u - 2 {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(v \right)}}{2} d v}}} = 2 u - 2 {\color{red}{\left(\frac{\int{\sin{\left(v \right)} d v}}{2}\right)}}$$

正弦関数の不定積分は$$$\int{\sin{\left(v \right)} d v} = - \cos{\left(v \right)}$$$です:

$$2 u - {\color{red}{\int{\sin{\left(v \right)} d v}}} = 2 u - {\color{red}{\left(- \cos{\left(v \right)}\right)}}$$

次のことを思い出してください $$$v=2 u$$$:

$$2 u + \cos{\left({\color{red}{v}} \right)} = 2 u + \cos{\left({\color{red}{\left(2 u\right)}} \right)}$$

次のことを思い出してください $$$u=\frac{x}{2}$$$:

$$\cos{\left(2 {\color{red}{u}} \right)} + 2 {\color{red}{u}} = \cos{\left(2 {\color{red}{\left(\frac{x}{2}\right)}} \right)} + 2 {\color{red}{\left(\frac{x}{2}\right)}}$$

したがって、

$$\int{\left(- \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)^{2} d x} = x + \cos{\left(x \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{\left(- \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)^{2} d x} = x + \cos{\left(x \right)}+C$$

$$$\int \left(- \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)^{2}\, dx = \left(x + \cos{\left(x \right)}\right) + C$$$A