$$$49 t^{2}$$$の積分

$$$\int 49 t^{2}\, dt$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$ を、$$$c=49$$$ と $$$f{\left(t \right)} = t^{2}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{49 t^{2} d t}}} = {\color{red}{\left(49 \int{t^{2} d t}\right)}}$$

$$$n=2$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int t^{n}\, dt = \frac{t^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$49 {\color{red}{\int{t^{2} d t}}}=49 {\color{red}{\frac{t^{1 + 2}}{1 + 2}}}=49 {\color{red}{\left(\frac{t^{3}}{3}\right)}}$$

したがって、

$$\int{49 t^{2} d t} = \frac{49 t^{3}}{3}$$

積分定数を加える:

$$\int{49 t^{2} d t} = \frac{49 t^{3}}{3}+C$$

$$$\int 49 t^{2}\, dt = \frac{49 t^{3}}{3} + C$$$A