$$$\left(3 x + 1\right)^{2}$$$の積分

$$$\int \left(3 x + 1\right)^{2}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=3 x + 1$$$ とする。

すると $$$du=\left(3 x + 1\right)^{\prime }dx = 3 dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = \frac{du}{3}$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{\left(3 x + 1\right)^{2} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{u^{2}}{3} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{3}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = u^{2}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{u^{2}}{3} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{u^{2} d u}}{3}\right)}}$$

$$$n=2$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$\frac{{\color{red}{\int{u^{2} d u}}}}{3}=\frac{{\color{red}{\frac{u^{1 + 2}}{1 + 2}}}}{3}=\frac{{\color{red}{\left(\frac{u^{3}}{3}\right)}}}{3}$$

次のことを思い出してください $$$u=3 x + 1$$$:

$$\frac{{\color{red}{u}}^{3}}{9} = \frac{{\color{red}{\left(3 x + 1\right)}}^{3}}{9}$$

したがって、

$$\int{\left(3 x + 1\right)^{2} d x} = \frac{\left(3 x + 1\right)^{3}}{9}$$

積分定数を加える:

$$\int{\left(3 x + 1\right)^{2} d x} = \frac{\left(3 x + 1\right)^{3}}{9}+C$$

$$$\int \left(3 x + 1\right)^{2}\, dx = \frac{\left(3 x + 1\right)^{3}}{9} + C$$$A