$$$\frac{3 e^{\frac{1}{x^{3}}}}{x^{4}}$$$の積分

$$$\int \frac{3 e^{\frac{1}{x^{3}}}}{x^{4}}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=x^{3}$$$ とする。

すると $$$du=\left(x^{3}\right)^{\prime }dx = 3 x^{2} dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$x^{2} dx = \frac{du}{3}$$$ となります。

積分は次のようになります

$${\color{red}{\int{\frac{3 e^{\frac{1}{x^{3}}}}{x^{4}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{\frac{1}{u}}}{u^{2}} d u}}}$$

$$$v=\frac{1}{u}$$$ とする。

すると $$$dv=\left(\frac{1}{u}\right)^{\prime }du = - \frac{1}{u^{2}} du$$$（手順は»で確認できます）、$$$\frac{du}{u^{2}} = - dv$$$ となります。

積分は次のようになります

$${\color{red}{\int{\frac{e^{\frac{1}{u}}}{u^{2}} d u}}} = {\color{red}{\int{\left(- e^{v}\right)d v}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$ を、$$$c=-1$$$ と $$$f{\left(v \right)} = e^{v}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\left(- e^{v}\right)d v}}} = {\color{red}{\left(- \int{e^{v} d v}\right)}}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{v} d v} = e^{v}$$$です:

$$- {\color{red}{\int{e^{v} d v}}} = - {\color{red}{e^{v}}}$$

次のことを思い出してください $$$v=\frac{1}{u}$$$:

$$- e^{{\color{red}{v}}} = - e^{{\color{red}{\frac{1}{u}}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=x^{3}$$$:

$$- e^{{\color{red}{u}}^{-1}} = - e^{{\color{red}{x^{3}}}^{-1}}$$

したがって、

$$\int{\frac{3 e^{\frac{1}{x^{3}}}}{x^{4}} d x} = - e^{\frac{1}{x^{3}}}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{3 e^{\frac{1}{x^{3}}}}{x^{4}} d x} = - e^{\frac{1}{x^{3}}}+C$$

$$$\int \frac{3 e^{\frac{1}{x^{3}}}}{x^{4}}\, dx = - e^{\frac{1}{x^{3}}} + C$$$A