$$$\frac{\left(1 - \frac{\sin{\left(t \right)}}{2}\right)^{2} \cos{\left(t \right)}}{2}$$$の積分

$$$\int \frac{\left(1 - \frac{\sin{\left(t \right)}}{2}\right)^{2} \cos{\left(t \right)}}{2}\, dt$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$ を、$$$c=\frac{1}{2}$$$ と $$$f{\left(t \right)} = \left(1 - \frac{\sin{\left(t \right)}}{2}\right)^{2} \cos{\left(t \right)}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{\left(1 - \frac{\sin{\left(t \right)}}{2}\right)^{2} \cos{\left(t \right)}}{2} d t}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\left(1 - \frac{\sin{\left(t \right)}}{2}\right)^{2} \cos{\left(t \right)} d t}}{2}\right)}}$$

$$$u=1 - \frac{\sin{\left(t \right)}}{2}$$$ とする。

すると $$$du=\left(1 - \frac{\sin{\left(t \right)}}{2}\right)^{\prime }dt = - \frac{\cos{\left(t \right)}}{2} dt$$$（手順は»で確認できます）、$$$\cos{\left(t \right)} dt = - 2 du$$$ となります。

この積分は次のように書き換えられる

$$\frac{{\color{red}{\int{\left(1 - \frac{\sin{\left(t \right)}}{2}\right)^{2} \cos{\left(t \right)} d t}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\int{\left(- 2 u^{2}\right)d u}}}}{2}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=-2$$$ と $$$f{\left(u \right)} = u^{2}$$$ に対して適用する:

$$\frac{{\color{red}{\int{\left(- 2 u^{2}\right)d u}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\left(- 2 \int{u^{2} d u}\right)}}}{2}$$

$$$n=2$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$- {\color{red}{\int{u^{2} d u}}}=- {\color{red}{\frac{u^{1 + 2}}{1 + 2}}}=- {\color{red}{\left(\frac{u^{3}}{3}\right)}}$$

次のことを思い出してください $$$u=1 - \frac{\sin{\left(t \right)}}{2}$$$:

$$- \frac{{\color{red}{u}}^{3}}{3} = - \frac{{\color{red}{\left(1 - \frac{\sin{\left(t \right)}}{2}\right)}}^{3}}{3}$$

したがって、

$$\int{\frac{\left(1 - \frac{\sin{\left(t \right)}}{2}\right)^{2} \cos{\left(t \right)}}{2} d t} = - \frac{\left(1 - \frac{\sin{\left(t \right)}}{2}\right)^{3}}{3}$$

簡単化せよ:

$$\int{\frac{\left(1 - \frac{\sin{\left(t \right)}}{2}\right)^{2} \cos{\left(t \right)}}{2} d t} = \frac{\left(\sin{\left(t \right)} - 2\right)^{3}}{24}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{\left(1 - \frac{\sin{\left(t \right)}}{2}\right)^{2} \cos{\left(t \right)}}{2} d t} = \frac{\left(\sin{\left(t \right)} - 2\right)^{3}}{24}+C$$

$$$\int \frac{\left(1 - \frac{\sin{\left(t \right)}}{2}\right)^{2} \cos{\left(t \right)}}{2}\, dt = \frac{\left(\sin{\left(t \right)} - 2\right)^{3}}{24} + C$$$A