$$$\left(\frac{x}{2} - 3\right)^{5}$$$の積分

$$$\int \left(\frac{x}{2} - 3\right)^{5}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=\frac{x}{2} - 3$$$ とする。

すると $$$du=\left(\frac{x}{2} - 3\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{2}$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = 2 du$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{\left(\frac{x}{2} - 3\right)^{5} d x}}} = {\color{red}{\int{2 u^{5} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=2$$$ と $$$f{\left(u \right)} = u^{5}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{2 u^{5} d u}}} = {\color{red}{\left(2 \int{u^{5} d u}\right)}}$$

$$$n=5$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$2 {\color{red}{\int{u^{5} d u}}}=2 {\color{red}{\frac{u^{1 + 5}}{1 + 5}}}=2 {\color{red}{\left(\frac{u^{6}}{6}\right)}}$$

次のことを思い出してください $$$u=\frac{x}{2} - 3$$$:

$$\frac{{\color{red}{u}}^{6}}{3} = \frac{{\color{red}{\left(\frac{x}{2} - 3\right)}}^{6}}{3}$$

したがって、

$$\int{\left(\frac{x}{2} - 3\right)^{5} d x} = \frac{\left(\frac{x}{2} - 3\right)^{6}}{3}$$

簡単化せよ:

$$\int{\left(\frac{x}{2} - 3\right)^{5} d x} = \frac{\left(x - 6\right)^{6}}{192}$$

積分定数を加える:

$$\int{\left(\frac{x}{2} - 3\right)^{5} d x} = \frac{\left(x - 6\right)^{6}}{192}+C$$

$$$\int \left(\frac{x}{2} - 3\right)^{5}\, dx = \frac{\left(x - 6\right)^{6}}{192} + C$$$A