$$$\frac{1}{p \left(1 - \frac{p}{n}\right)}$$$ の $$$n$$$ に関する積分

$$$\int \frac{1}{p \left(1 - \frac{p}{n}\right)}\, dn$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(n \right)}\, dn = c \int f{\left(n \right)}\, dn$$$ を、$$$c=\frac{1}{p}$$$ と $$$f{\left(n \right)} = \frac{1}{1 - \frac{p}{n}}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{p \left(1 - \frac{p}{n}\right)} d n}}} = {\color{red}{\frac{\int{\frac{1}{1 - \frac{p}{n}} d n}}{p}}}$$

Simplify:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{1 - \frac{p}{n}} d n}}}}{p} = \frac{{\color{red}{\int{\frac{n}{n - p} d n}}}}{p}$$

分数を変形して分解する:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{n}{n - p} d n}}}}{p} = \frac{{\color{red}{\int{\left(\frac{p}{n - p} + 1\right)d n}}}}{p}$$

項別に積分せよ:

$$\frac{{\color{red}{\int{\left(\frac{p}{n - p} + 1\right)d n}}}}{p} = \frac{{\color{red}{\left(\int{1 d n} + \int{\frac{p}{n - p} d n}\right)}}}{p}$$

$$$c=1$$$ に対して定数則 $$$\int c\, dn = c n$$$ を適用する:

$$\frac{\int{\frac{p}{n - p} d n} + {\color{red}{\int{1 d n}}}}{p} = \frac{\int{\frac{p}{n - p} d n} + {\color{red}{n}}}{p}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(n \right)}\, dn = c \int f{\left(n \right)}\, dn$$$ を、$$$c=p$$$ と $$$f{\left(n \right)} = \frac{1}{n - p}$$$ に対して適用する:

$$\frac{n + {\color{red}{\int{\frac{p}{n - p} d n}}}}{p} = \frac{n + {\color{red}{p \int{\frac{1}{n - p} d n}}}}{p}$$

$$$u=n - p$$$ とする。

すると $$$du=\left(n - p\right)^{\prime }dn = 1 dn$$$（手順は»で確認できます）、$$$dn = du$$$ となります。

したがって、

$$\frac{n + p {\color{red}{\int{\frac{1}{n - p} d n}}}}{p} = \frac{n + p {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{p}$$

$$$\frac{1}{u}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$ です:

$$\frac{n + p {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{p} = \frac{n + p {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}}{p}$$

次のことを思い出してください $$$u=n - p$$$:

$$\frac{n + p \ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)}}{p} = \frac{n + p \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(n - p\right)}}}\right| \right)}}{p}$$

したがって、

$$\int{\frac{1}{p \left(1 - \frac{p}{n}\right)} d n} = \frac{n + p \ln{\left(\left|{n - p}\right| \right)}}{p}$$

簡単化せよ:

$$\int{\frac{1}{p \left(1 - \frac{p}{n}\right)} d n} = \frac{n}{p} + \ln{\left(\left|{n - p}\right| \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{1}{p \left(1 - \frac{p}{n}\right)} d n} = \frac{n}{p} + \ln{\left(\left|{n - p}\right| \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{p \left(1 - \frac{p}{n}\right)}\, dn = \left(\frac{n}{p} + \ln\left(\left|{n - p}\right|\right)\right) + C$$$A