$$$\left(\frac{x}{8} - 2\right)^{3}$$$の積分

$$$\int \left(\frac{x}{8} - 2\right)^{3}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=\frac{x}{8} - 2$$$ とする。

すると $$$du=\left(\frac{x}{8} - 2\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{8}$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = 8 du$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{\left(\frac{x}{8} - 2\right)^{3} d x}}} = {\color{red}{\int{8 u^{3} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=8$$$ と $$$f{\left(u \right)} = u^{3}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{8 u^{3} d u}}} = {\color{red}{\left(8 \int{u^{3} d u}\right)}}$$

$$$n=3$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$8 {\color{red}{\int{u^{3} d u}}}=8 {\color{red}{\frac{u^{1 + 3}}{1 + 3}}}=8 {\color{red}{\left(\frac{u^{4}}{4}\right)}}$$

次のことを思い出してください $$$u=\frac{x}{8} - 2$$$:

$$2 {\color{red}{u}}^{4} = 2 {\color{red}{\left(\frac{x}{8} - 2\right)}}^{4}$$

したがって、

$$\int{\left(\frac{x}{8} - 2\right)^{3} d x} = 2 \left(\frac{x}{8} - 2\right)^{4}$$

簡単化せよ:

$$\int{\left(\frac{x}{8} - 2\right)^{3} d x} = \frac{\left(x - 16\right)^{4}}{2048}$$

積分定数を加える:

$$\int{\left(\frac{x}{8} - 2\right)^{3} d x} = \frac{\left(x - 16\right)^{4}}{2048}+C$$

$$$\int \left(\frac{x}{8} - 2\right)^{3}\, dx = \frac{\left(x - 16\right)^{4}}{2048} + C$$$A