$$$\frac{a^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}$$$ の $$$x$$$ に関する積分

$$$\int \frac{a^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=a^{\sqrt{x}}$$$ とする。

すると $$$du=\left(a^{\sqrt{x}}\right)^{\prime }dx = \frac{a^{\sqrt{x}} \ln{\left(a \right)}}{2 \sqrt{x}} dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$\frac{a^{\sqrt{x}} dx}{\sqrt{x}} = \frac{2 du}{\ln{\left(a \right)}}$$$ となります。

積分は次のようになります

$${\color{red}{\int{\frac{a^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{2}{\ln{\left(a \right)}} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{2}{\ln{\left(a \right)}}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = 1$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{2}{\ln{\left(a \right)}} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{2 \int{1 d u}}{\ln{\left(a \right)}}\right)}}$$

$$$c=1$$$ に対して定数則 $$$\int c\, du = c u$$$ を適用する:

$$\frac{2 {\color{red}{\int{1 d u}}}}{\ln{\left(a \right)}} = \frac{2 {\color{red}{u}}}{\ln{\left(a \right)}}$$

次のことを思い出してください $$$u=a^{\sqrt{x}}$$$:

$$\frac{2 {\color{red}{u}}}{\ln{\left(a \right)}} = \frac{2 {\color{red}{a^{\sqrt{x}}}}}{\ln{\left(a \right)}}$$

したがって、

$$\int{\frac{a^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x} = \frac{2 a^{\sqrt{x}}}{\ln{\left(a \right)}}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{a^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x} = \frac{2 a^{\sqrt{x}}}{\ln{\left(a \right)}}+C$$

$$$\int \frac{a^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\, dx = \frac{2 a^{\sqrt{x}}}{\ln\left(a\right)} + C$$$A