$$$\sqrt{10} \left(10 - y\right) \sqrt{\frac{1}{y}}$$$の積分

$$$\int \sqrt{10} \left(10 - y\right) \sqrt{\frac{1}{y}}\, dy$$$ を求めよ。

入力は次のように書き換えられます: $$$\int{\sqrt{10} \left(10 - y\right) \sqrt{\frac{1}{y}} d y}=\int{\frac{\sqrt{10} \left(10 - y\right)}{\sqrt{y}} d y}$$$。

Expand the expression:

$${\color{red}{\int{\frac{\sqrt{10} \left(10 - y\right)}{\sqrt{y}} d y}}} = {\color{red}{\int{\left(- \sqrt{10} \sqrt{y} + \frac{10 \sqrt{10}}{\sqrt{y}}\right)d y}}}$$

項別に積分せよ:

$${\color{red}{\int{\left(- \sqrt{10} \sqrt{y} + \frac{10 \sqrt{10}}{\sqrt{y}}\right)d y}}} = {\color{red}{\left(\int{\frac{10 \sqrt{10}}{\sqrt{y}} d y} - \int{\sqrt{10} \sqrt{y} d y}\right)}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(y \right)}\, dy = c \int f{\left(y \right)}\, dy$$$ を、$$$c=\sqrt{10}$$$ と $$$f{\left(y \right)} = \sqrt{y}$$$ に対して適用する:

$$\int{\frac{10 \sqrt{10}}{\sqrt{y}} d y} - {\color{red}{\int{\sqrt{10} \sqrt{y} d y}}} = \int{\frac{10 \sqrt{10}}{\sqrt{y}} d y} - {\color{red}{\sqrt{10} \int{\sqrt{y} d y}}}$$

$$$n=\frac{1}{2}$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int y^{n}\, dy = \frac{y^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$\int{\frac{10 \sqrt{10}}{\sqrt{y}} d y} - \sqrt{10} {\color{red}{\int{\sqrt{y} d y}}}=\int{\frac{10 \sqrt{10}}{\sqrt{y}} d y} - \sqrt{10} {\color{red}{\int{y^{\frac{1}{2}} d y}}}=\int{\frac{10 \sqrt{10}}{\sqrt{y}} d y} - \sqrt{10} {\color{red}{\frac{y^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{1}{2} + 1}}}=\int{\frac{10 \sqrt{10}}{\sqrt{y}} d y} - \sqrt{10} {\color{red}{\left(\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}\right)}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(y \right)}\, dy = c \int f{\left(y \right)}\, dy$$$ を、$$$c=10 \sqrt{10}$$$ と $$$f{\left(y \right)} = \frac{1}{\sqrt{y}}$$$ に対して適用する:

$$- \frac{2 \sqrt{10} y^{\frac{3}{2}}}{3} + {\color{red}{\int{\frac{10 \sqrt{10}}{\sqrt{y}} d y}}} = - \frac{2 \sqrt{10} y^{\frac{3}{2}}}{3} + {\color{red}{\left(10 \sqrt{10} \int{\frac{1}{\sqrt{y}} d y}\right)}}$$

$$$n=- \frac{1}{2}$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int y^{n}\, dy = \frac{y^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$- \frac{2 \sqrt{10} y^{\frac{3}{2}}}{3} + 10 \sqrt{10} {\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{y}} d y}}}=- \frac{2 \sqrt{10} y^{\frac{3}{2}}}{3} + 10 \sqrt{10} {\color{red}{\int{y^{- \frac{1}{2}} d y}}}=- \frac{2 \sqrt{10} y^{\frac{3}{2}}}{3} + 10 \sqrt{10} {\color{red}{\frac{y^{- \frac{1}{2} + 1}}{- \frac{1}{2} + 1}}}=- \frac{2 \sqrt{10} y^{\frac{3}{2}}}{3} + 10 \sqrt{10} {\color{red}{\left(2 y^{\frac{1}{2}}\right)}}=- \frac{2 \sqrt{10} y^{\frac{3}{2}}}{3} + 10 \sqrt{10} {\color{red}{\left(2 \sqrt{y}\right)}}$$

したがって、

$$\int{\frac{\sqrt{10} \left(10 - y\right)}{\sqrt{y}} d y} = - \frac{2 \sqrt{10} y^{\frac{3}{2}}}{3} + 20 \sqrt{10} \sqrt{y}$$

簡単化せよ:

$$\int{\frac{\sqrt{10} \left(10 - y\right)}{\sqrt{y}} d y} = \frac{2 \sqrt{10} \sqrt{y} \left(30 - y\right)}{3}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{\sqrt{10} \left(10 - y\right)}{\sqrt{y}} d y} = \frac{2 \sqrt{10} \sqrt{y} \left(30 - y\right)}{3}+C$$

$$$\int \sqrt{10} \left(10 - y\right) \sqrt{\frac{1}{y}}\, dy = \frac{2 \sqrt{10} \sqrt{y} \left(30 - y\right)}{3} + C$$$A