$$$\frac{x - 1}{x^{2} + x + 1}$$$の積分
入力内容
$$$\int \frac{x - 1}{x^{2} + x + 1}\, dx$$$ を求めよ。
解答
線形項を$$$x - 1=x\color{red}{+\frac{1}{2}- \frac{1}{2}}-1=x+\frac{1}{2}- \frac{3}{2}$$$とおき、式を分ける:
$${\color{red}{\int{\frac{x - 1}{x^{2} + x + 1} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(\frac{x + \frac{1}{2}}{x^{2} + x + 1} - \frac{3}{2 \left(x^{2} + x + 1\right)}\right)d x}}}$$
項別に積分せよ:
$${\color{red}{\int{\left(\frac{x + \frac{1}{2}}{x^{2} + x + 1} - \frac{3}{2 \left(x^{2} + x + 1\right)}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{\frac{x + \frac{1}{2}}{x^{2} + x + 1} d x} + \int{\left(- \frac{3}{2 \left(x^{2} + x + 1\right)}\right)d x}\right)}}$$
$$$u=x^{2} + x + 1$$$ とする。
すると $$$du=\left(x^{2} + x + 1\right)^{\prime }dx = \left(2 x + 1\right) dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$\left(2 x + 1\right) dx = du$$$ となります。
この積分は次のように書き換えられる
$$\int{\left(- \frac{3}{2 \left(x^{2} + x + 1\right)}\right)d x} + {\color{red}{\int{\frac{x + \frac{1}{2}}{x^{2} + x + 1} d x}}} = \int{\left(- \frac{3}{2 \left(x^{2} + x + 1\right)}\right)d x} + {\color{red}{\int{\frac{1}{2 u} d u}}}$$
定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{2}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$$$ に対して適用する:
$$\int{\left(- \frac{3}{2 \left(x^{2} + x + 1\right)}\right)d x} + {\color{red}{\int{\frac{1}{2 u} d u}}} = \int{\left(- \frac{3}{2 \left(x^{2} + x + 1\right)}\right)d x} + {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{u} d u}}{2}\right)}}$$
$$$\frac{1}{u}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$ です:
$$\int{\left(- \frac{3}{2 \left(x^{2} + x + 1\right)}\right)d x} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{2} = \int{\left(- \frac{3}{2 \left(x^{2} + x + 1\right)}\right)d x} + \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}}{2}$$
次のことを思い出してください $$$u=x^{2} + x + 1$$$:
$$\frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)}}{2} + \int{\left(- \frac{3}{2 \left(x^{2} + x + 1\right)}\right)d x} = \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(x^{2} + x + 1\right)}}}\right| \right)}}{2} + \int{\left(- \frac{3}{2 \left(x^{2} + x + 1\right)}\right)d x}$$
定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=- \frac{3}{2}$$$ と $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{2} + x + 1}$$$ に対して適用する:
$$\frac{\ln{\left(\left|{x^{2} + x + 1}\right| \right)}}{2} + {\color{red}{\int{\left(- \frac{3}{2 \left(x^{2} + x + 1\right)}\right)d x}}} = \frac{\ln{\left(\left|{x^{2} + x + 1}\right| \right)}}{2} + {\color{red}{\left(- \frac{3 \int{\frac{1}{x^{2} + x + 1} d x}}{2}\right)}}$$
平方完成を行ってください（手順は»で確認できます）: $$$x^{2} + x + 1 = \left(x + \frac{1}{2}\right)^{2} + \frac{3}{4}$$$:
$$\frac{\ln{\left(\left|{x^{2} + x + 1}\right| \right)}}{2} - \frac{3 {\color{red}{\int{\frac{1}{x^{2} + x + 1} d x}}}}{2} = \frac{\ln{\left(\left|{x^{2} + x + 1}\right| \right)}}{2} - \frac{3 {\color{red}{\int{\frac{1}{\left(x + \frac{1}{2}\right)^{2} + \frac{3}{4}} d x}}}}{2}$$
$$$u=x + \frac{1}{2}$$$ とする。
すると $$$du=\left(x + \frac{1}{2}\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = du$$$ となります。
積分は次のようになります
$$\frac{\ln{\left(\left|{x^{2} + x + 1}\right| \right)}}{2} - \frac{3 {\color{red}{\int{\frac{1}{\left(x + \frac{1}{2}\right)^{2} + \frac{3}{4}} d x}}}}{2} = \frac{\ln{\left(\left|{x^{2} + x + 1}\right| \right)}}{2} - \frac{3 {\color{red}{\int{\frac{1}{u^{2} + \frac{3}{4}} d u}}}}{2}$$
$$$v=\frac{2 \sqrt{3} u}{3}$$$ とする。
すると $$$dv=\left(\frac{2 \sqrt{3} u}{3}\right)^{\prime }du = \frac{2 \sqrt{3}}{3} du$$$（手順は»で確認できます）、$$$du = \frac{\sqrt{3} dv}{2}$$$ となります。
したがって、
$$\frac{\ln{\left(\left|{x^{2} + x + 1}\right| \right)}}{2} - \frac{3 {\color{red}{\int{\frac{1}{u^{2} + \frac{3}{4}} d u}}}}{2} = \frac{\ln{\left(\left|{x^{2} + x + 1}\right| \right)}}{2} - \frac{3 {\color{red}{\int{\frac{2 \sqrt{3}}{3 \left(v^{2} + 1\right)} d v}}}}{2}$$
定数倍の法則 $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$ を、$$$c=\frac{2 \sqrt{3}}{3}$$$ と $$$f{\left(v \right)} = \frac{1}{v^{2} + 1}$$$ に対して適用する:
$$\frac{\ln{\left(\left|{x^{2} + x + 1}\right| \right)}}{2} - \frac{3 {\color{red}{\int{\frac{2 \sqrt{3}}{3 \left(v^{2} + 1\right)} d v}}}}{2} = \frac{\ln{\left(\left|{x^{2} + x + 1}\right| \right)}}{2} - \frac{3 {\color{red}{\left(\frac{2 \sqrt{3} \int{\frac{1}{v^{2} + 1} d v}}{3}\right)}}}{2}$$
$$$\frac{1}{v^{2} + 1}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{v^{2} + 1} d v} = \operatorname{atan}{\left(v \right)}$$$ です:
$$\frac{\ln{\left(\left|{x^{2} + x + 1}\right| \right)}}{2} - \sqrt{3} {\color{red}{\int{\frac{1}{v^{2} + 1} d v}}} = \frac{\ln{\left(\left|{x^{2} + x + 1}\right| \right)}}{2} - \sqrt{3} {\color{red}{\operatorname{atan}{\left(v \right)}}}$$
次のことを思い出してください $$$v=\frac{2 \sqrt{3} u}{3}$$$:
$$\frac{\ln{\left(\left|{x^{2} + x + 1}\right| \right)}}{2} - \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left({\color{red}{v}} \right)} = \frac{\ln{\left(\left|{x^{2} + x + 1}\right| \right)}}{2} - \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left({\color{red}{\left(\frac{2 \sqrt{3} u}{3}\right)}} \right)}$$
次のことを思い出してください $$$u=x + \frac{1}{2}$$$:
$$\frac{\ln{\left(\left|{x^{2} + x + 1}\right| \right)}}{2} - \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{3} {\color{red}{u}}}{3} \right)} = \frac{\ln{\left(\left|{x^{2} + x + 1}\right| \right)}}{2} - \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{3} {\color{red}{\left(x + \frac{1}{2}\right)}}}{3} \right)}$$
したがって、
$$\int{\frac{x - 1}{x^{2} + x + 1} d x} = \frac{\ln{\left(\left|{x^{2} + x + 1}\right| \right)}}{2} - \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{3} \left(x + \frac{1}{2}\right)}{3} \right)}$$
簡単化せよ:
$$\int{\frac{x - 1}{x^{2} + x + 1} d x} = \frac{\ln{\left(\left|{x^{2} + x + 1}\right| \right)}}{2} - \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \left(2 x + 1\right)}{3} \right)}$$
積分定数を加える:
$$\int{\frac{x - 1}{x^{2} + x + 1} d x} = \frac{\ln{\left(\left|{x^{2} + x + 1}\right| \right)}}{2} - \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \left(2 x + 1\right)}{3} \right)}+C$$
解答
$$$\int \frac{x - 1}{x^{2} + x + 1}\, dx = \left(\frac{\ln\left(\left|{x^{2} + x + 1}\right|\right)}{2} - \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \left(2 x + 1\right)}{3} \right)}\right) + C$$$A