$$$\frac{x^{2}}{x^{6} + 2}$$$の積分

$$$\int \frac{x^{2}}{x^{6} + 2}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=x^{3}$$$ とする。

すると $$$du=\left(x^{3}\right)^{\prime }dx = 3 x^{2} dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$x^{2} dx = \frac{du}{3}$$$ となります。

積分は次のようになります

$${\color{red}{\int{\frac{x^{2}}{x^{6} + 2} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{3 \left(u^{2} + 2\right)} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{3}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u^{2} + 2}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{3 \left(u^{2} + 2\right)} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{u^{2} + 2} d u}}{3}\right)}}$$

$$$v=\frac{\sqrt{2} u}{2}$$$ とする。

すると $$$dv=\left(\frac{\sqrt{2} u}{2}\right)^{\prime }du = \frac{\sqrt{2}}{2} du$$$（手順は»で確認できます）、$$$du = \sqrt{2} dv$$$ となります。

したがって、

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u^{2} + 2} d u}}}}{3} = \frac{{\color{red}{\int{\frac{\sqrt{2}}{2 \left(v^{2} + 1\right)} d v}}}}{3}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$ を、$$$c=\frac{\sqrt{2}}{2}$$$ と $$$f{\left(v \right)} = \frac{1}{v^{2} + 1}$$$ に対して適用する:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{\sqrt{2}}{2 \left(v^{2} + 1\right)} d v}}}}{3} = \frac{{\color{red}{\left(\frac{\sqrt{2} \int{\frac{1}{v^{2} + 1} d v}}{2}\right)}}}{3}$$

$$$\frac{1}{v^{2} + 1}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{v^{2} + 1} d v} = \operatorname{atan}{\left(v \right)}$$$ です:

$$\frac{\sqrt{2} {\color{red}{\int{\frac{1}{v^{2} + 1} d v}}}}{6} = \frac{\sqrt{2} {\color{red}{\operatorname{atan}{\left(v \right)}}}}{6}$$

次のことを思い出してください $$$v=\frac{\sqrt{2} u}{2}$$$:

$$\frac{\sqrt{2} \operatorname{atan}{\left({\color{red}{v}} \right)}}{6} = \frac{\sqrt{2} \operatorname{atan}{\left({\color{red}{\left(\frac{\sqrt{2} u}{2}\right)}} \right)}}{6}$$

次のことを思い出してください $$$u=x^{3}$$$:

$$\frac{\sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} {\color{red}{u}}}{2} \right)}}{6} = \frac{\sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} {\color{red}{x^{3}}}}{2} \right)}}{6}$$

したがって、

$$\int{\frac{x^{2}}{x^{6} + 2} d x} = \frac{\sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} x^{3}}{2} \right)}}{6}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{x^{2}}{x^{6} + 2} d x} = \frac{\sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} x^{3}}{2} \right)}}{6}+C$$

$$$\int \frac{x^{2}}{x^{6} + 2}\, dx = \frac{\sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} x^{3}}{2} \right)}}{6} + C$$$A