$$$\frac{m}{d f}$$$ の $$$d$$$ に関する積分

$$$\int \frac{m}{d f}\, dd$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(d \right)}\, dd = c \int f{\left(d \right)}\, dd$$$ を、$$$c=\frac{m}{f}$$$ と $$$f{\left(d \right)} = \frac{1}{d}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{m}{d f} d d}}} = {\color{red}{\frac{m \int{\frac{1}{d} d d}}{f}}}$$

$$$\frac{1}{d}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{d} d d} = \ln{\left(\left|{d}\right| \right)}$$$ です:

$$\frac{m {\color{red}{\int{\frac{1}{d} d d}}}}{f} = \frac{m {\color{red}{\ln{\left(\left|{d}\right| \right)}}}}{f}$$

したがって、

$$\int{\frac{m}{d f} d d} = \frac{m \ln{\left(\left|{d}\right| \right)}}{f}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{m}{d f} d d} = \frac{m \ln{\left(\left|{d}\right| \right)}}{f}+C$$

$$$\int \frac{m}{d f}\, dd = \frac{m \ln\left(\left|{d}\right|\right)}{f} + C$$$A