$$$\frac{e^{2 x}}{e^{x} + 1}$$$の積分

$$$\int \frac{e^{2 x}}{e^{x} + 1}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=e^{x}$$$ とする。

すると $$$du=\left(e^{x}\right)^{\prime }dx = e^{x} dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$e^{x} dx = du$$$ となります。

積分は次のようになります

$${\color{red}{\int{\frac{e^{2 x}}{e^{x} + 1} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{u}{u + 1} d u}}}$$

分数を変形して分解する:

$${\color{red}{\int{\frac{u}{u + 1} d u}}} = {\color{red}{\int{\left(1 - \frac{1}{u + 1}\right)d u}}}$$

項別に積分せよ:

$${\color{red}{\int{\left(1 - \frac{1}{u + 1}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(\int{1 d u} - \int{\frac{1}{u + 1} d u}\right)}}$$

$$$c=1$$$ に対して定数則 $$$\int c\, du = c u$$$ を適用する:

$$- \int{\frac{1}{u + 1} d u} + {\color{red}{\int{1 d u}}} = - \int{\frac{1}{u + 1} d u} + {\color{red}{u}}$$

$$$v=u + 1$$$ とする。

すると $$$dv=\left(u + 1\right)^{\prime }du = 1 du$$$（手順は»で確認できます）、$$$du = dv$$$ となります。

したがって、

$$u - {\color{red}{\int{\frac{1}{u + 1} d u}}} = u - {\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}$$

$$$\frac{1}{v}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{v} d v} = \ln{\left(\left|{v}\right| \right)}$$$ です:

$$u - {\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}} = u - {\color{red}{\ln{\left(\left|{v}\right| \right)}}}$$

次のことを思い出してください $$$v=u + 1$$$:

$$u - \ln{\left(\left|{{\color{red}{v}}}\right| \right)} = u - \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(u + 1\right)}}}\right| \right)}$$

次のことを思い出してください $$$u=e^{x}$$$:

$$- \ln{\left(\left|{1 + {\color{red}{u}}}\right| \right)} + {\color{red}{u}} = - \ln{\left(\left|{1 + {\color{red}{e^{x}}}}\right| \right)} + {\color{red}{e^{x}}}$$

したがって、

$$\int{\frac{e^{2 x}}{e^{x} + 1} d x} = e^{x} - \ln{\left(e^{x} + 1 \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{e^{2 x}}{e^{x} + 1} d x} = e^{x} - \ln{\left(e^{x} + 1 \right)}+C$$

$$$\int \frac{e^{2 x}}{e^{x} + 1}\, dx = \left(e^{x} - \ln\left(e^{x} + 1\right)\right) + C$$$A