$$$\frac{7 d x^{3}}{f} - 13 x^{2} - 6$$$ の $$$x$$$ に関する積分

$$$\int \left(\frac{7 d x^{3}}{f} - 13 x^{2} - 6\right)\, dx$$$ を求めよ。

項別に積分せよ:

$${\color{red}{\int{\left(\frac{7 d x^{3}}{f} - 13 x^{2} - 6\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \int{6 d x} - \int{13 x^{2} d x} + \int{\frac{7 d x^{3}}{f} d x}\right)}}$$

$$$c=6$$$ に対して定数則 $$$\int c\, dx = c x$$$ を適用する:

$$- \int{13 x^{2} d x} + \int{\frac{7 d x^{3}}{f} d x} - {\color{red}{\int{6 d x}}} = - \int{13 x^{2} d x} + \int{\frac{7 d x^{3}}{f} d x} - {\color{red}{\left(6 x\right)}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=13$$$ と $$$f{\left(x \right)} = x^{2}$$$ に対して適用する:

$$- 6 x + \int{\frac{7 d x^{3}}{f} d x} - {\color{red}{\int{13 x^{2} d x}}} = - 6 x + \int{\frac{7 d x^{3}}{f} d x} - {\color{red}{\left(13 \int{x^{2} d x}\right)}}$$

$$$n=2$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$- 6 x + \int{\frac{7 d x^{3}}{f} d x} - 13 {\color{red}{\int{x^{2} d x}}}=- 6 x + \int{\frac{7 d x^{3}}{f} d x} - 13 {\color{red}{\frac{x^{1 + 2}}{1 + 2}}}=- 6 x + \int{\frac{7 d x^{3}}{f} d x} - 13 {\color{red}{\left(\frac{x^{3}}{3}\right)}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=\frac{7 d}{f}$$$ と $$$f{\left(x \right)} = x^{3}$$$ に対して適用する:

$$- \frac{13 x^{3}}{3} - 6 x + {\color{red}{\int{\frac{7 d x^{3}}{f} d x}}} = - \frac{13 x^{3}}{3} - 6 x + {\color{red}{\left(\frac{7 d \int{x^{3} d x}}{f}\right)}}$$

$$$n=3$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$\frac{7 d {\color{red}{\int{x^{3} d x}}}}{f} - \frac{13 x^{3}}{3} - 6 x=\frac{7 d {\color{red}{\frac{x^{1 + 3}}{1 + 3}}}}{f} - \frac{13 x^{3}}{3} - 6 x=\frac{7 d {\color{red}{\left(\frac{x^{4}}{4}\right)}}}{f} - \frac{13 x^{3}}{3} - 6 x$$

したがって、

$$\int{\left(\frac{7 d x^{3}}{f} - 13 x^{2} - 6\right)d x} = \frac{7 d x^{4}}{4 f} - \frac{13 x^{3}}{3} - 6 x$$

積分定数を加える:

$$\int{\left(\frac{7 d x^{3}}{f} - 13 x^{2} - 6\right)d x} = \frac{7 d x^{4}}{4 f} - \frac{13 x^{3}}{3} - 6 x+C$$

$$$\int \left(\frac{7 d x^{3}}{f} - 13 x^{2} - 6\right)\, dx = \left(\frac{7 d x^{4}}{4 f} - \frac{13 x^{3}}{3} - 6 x\right) + C$$$A