$$$\frac{i d n t}{x^{115}}$$$ の $$$x$$$ に関する積分
入力内容
$$$\int \frac{i d n t}{x^{115}}\, dx$$$ を求めよ。
解答
定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=i d n t$$$ と $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{115}}$$$ に対して適用する:
$${\color{red}{\int{\frac{i d n t}{x^{115}} d x}}} = {\color{red}{i d n t \int{\frac{1}{x^{115}} d x}}}$$
$$$n=-115$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:
$$i d n t {\color{red}{\int{\frac{1}{x^{115}} d x}}}=i d n t {\color{red}{\int{x^{-115} d x}}}=i d n t {\color{red}{\frac{x^{-115 + 1}}{-115 + 1}}}=i d n t {\color{red}{\left(- \frac{x^{-114}}{114}\right)}}=i d n t {\color{red}{\left(- \frac{1}{114 x^{114}}\right)}}$$
したがって、
$$\int{\frac{i d n t}{x^{115}} d x} = - \frac{i d n t}{114 x^{114}}$$
積分定数を加える:
$$\int{\frac{i d n t}{x^{115}} d x} = - \frac{i d n t}{114 x^{114}}+C$$
解答
$$$\int \frac{i d n t}{x^{115}}\, dx = - \frac{i d n t}{114 x^{114}} + C$$$A