$$$\sqrt{1 - 25 x^{2}}$$$の積分

$$$\int \sqrt{1 - 25 x^{2}}\, dx$$$ を求めよ。

$$$x=\frac{\sin{\left(u \right)}}{5}$$$ とする。

すると $$$dx=\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{5}\right)^{\prime }du = \frac{\cos{\left(u \right)}}{5} du$$$ (手順は»で確認できます)。

また、$$$u=\operatorname{asin}{\left(5 x \right)}$$$が成り立つ。

したがって、

$$$\sqrt{1 - 25 x^{2}} = \sqrt{1 - \sin^{2}{\left( u \right)}}$$$

恒等式 $$$1 - \sin^{2}{\left( u \right)} = \cos^{2}{\left( u \right)}$$$ を用いよ:

$$$\sqrt{1 - \sin^{2}{\left( u \right)}}=\sqrt{\cos^{2}{\left( u \right)}}$$$

$$$\cos{\left( u \right)} \ge 0$$$ を仮定すると、以下が得られる:

$$$\sqrt{\cos^{2}{\left( u \right)}} = \cos{\left( u \right)}$$$

積分は以下のように書き換えられる

$${\color{red}{\int{\sqrt{1 - 25 x^{2}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{5} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{5}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \cos^{2}{\left(u \right)}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{5} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\cos^{2}{\left(u \right)} d u}}{5}\right)}}$$

冪低減公式 $$$\cos^{2}{\left(\alpha \right)} = \frac{\cos{\left(2 \alpha \right)}}{2} + \frac{1}{2}$$$ を $$$\alpha= u $$$ に適用する:

$$\frac{{\color{red}{\int{\cos^{2}{\left(u \right)} d u}}}}{5} = \frac{{\color{red}{\int{\left(\frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)d u}}}}{5}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{2}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(2 u \right)} + 1$$$ に対して適用する:

$$\frac{{\color{red}{\int{\left(\frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)d u}}}}{5} = \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\left(\cos{\left(2 u \right)} + 1\right)d u}}{2}\right)}}}{5}$$

項別に積分せよ:

$$\frac{{\color{red}{\int{\left(\cos{\left(2 u \right)} + 1\right)d u}}}}{10} = \frac{{\color{red}{\left(\int{1 d u} + \int{\cos{\left(2 u \right)} d u}\right)}}}{10}$$

$$$c=1$$$ に対して定数則 $$$\int c\, du = c u$$$ を適用する:

$$\frac{\int{\cos{\left(2 u \right)} d u}}{10} + \frac{{\color{red}{\int{1 d u}}}}{10} = \frac{\int{\cos{\left(2 u \right)} d u}}{10} + \frac{{\color{red}{u}}}{10}$$

$$$v=2 u$$$ とする。

すると $$$dv=\left(2 u\right)^{\prime }du = 2 du$$$（手順は»で確認できます）、$$$du = \frac{dv}{2}$$$ となります。

したがって、

$$\frac{u}{10} + \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(2 u \right)} d u}}}}{10} = \frac{u}{10} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(v \right)}}{2} d v}}}}{10}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$ を、$$$c=\frac{1}{2}$$$ と $$$f{\left(v \right)} = \cos{\left(v \right)}$$$ に対して適用する:

$$\frac{u}{10} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(v \right)}}{2} d v}}}}{10} = \frac{u}{10} + \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(v \right)} d v}}{2}\right)}}}{10}$$

余弦の積分は$$$\int{\cos{\left(v \right)} d v} = \sin{\left(v \right)}$$$:

$$\frac{u}{10} + \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(v \right)} d v}}}}{20} = \frac{u}{10} + \frac{{\color{red}{\sin{\left(v \right)}}}}{20}$$

次のことを思い出してください $$$v=2 u$$$:

$$\frac{u}{10} + \frac{\sin{\left({\color{red}{v}} \right)}}{20} = \frac{u}{10} + \frac{\sin{\left({\color{red}{\left(2 u\right)}} \right)}}{20}$$

次のことを思い出してください $$$u=\operatorname{asin}{\left(5 x \right)}$$$:

$$\frac{\sin{\left(2 {\color{red}{u}} \right)}}{20} + \frac{{\color{red}{u}}}{10} = \frac{\sin{\left(2 {\color{red}{\operatorname{asin}{\left(5 x \right)}}} \right)}}{20} + \frac{{\color{red}{\operatorname{asin}{\left(5 x \right)}}}}{10}$$

したがって、

$$\int{\sqrt{1 - 25 x^{2}} d x} = \frac{\sin{\left(2 \operatorname{asin}{\left(5 x \right)} \right)}}{20} + \frac{\operatorname{asin}{\left(5 x \right)}}{10}$$

公式 $$$\sin{\left(2 \operatorname{asin}{\left(\alpha \right)} \right)} = 2 \alpha \sqrt{1 - \alpha^{2}}$$$, $$$\sin{\left(2 \operatorname{acos}{\left(\alpha \right)} \right)} = 2 \alpha \sqrt{1 - \alpha^{2}}$$$, $$$\cos{\left(2 \operatorname{asin}{\left(\alpha \right)} \right)} = 1 - 2 \alpha^{2}$$$, $$$\cos{\left(2 \operatorname{acos}{\left(\alpha \right)} \right)} = 2 \alpha^{2} - 1$$$, $$$\sinh{\left(2 \operatorname{asinh}{\left(\alpha \right)} \right)} = 2 \alpha \sqrt{\alpha^{2} + 1}$$$, $$$\sinh{\left(2 \operatorname{acosh}{\left(\alpha \right)} \right)} = 2 \alpha \sqrt{\alpha - 1} \sqrt{\alpha + 1}$$$, $$$\cosh{\left(2 \operatorname{asinh}{\left(\alpha \right)} \right)} = 2 \alpha^{2} + 1$$$, $$$\cosh{\left(2 \operatorname{acosh}{\left(\alpha \right)} \right)} = 2 \alpha^{2} - 1$$$ を用いて、式を簡単化しなさい:

$$\int{\sqrt{1 - 25 x^{2}} d x} = \frac{x \sqrt{1 - 25 x^{2}}}{2} + \frac{\operatorname{asin}{\left(5 x \right)}}{10}$$

積分定数を加える:

$$\int{\sqrt{1 - 25 x^{2}} d x} = \frac{x \sqrt{1 - 25 x^{2}}}{2} + \frac{\operatorname{asin}{\left(5 x \right)}}{10}+C$$

$$$\int \sqrt{1 - 25 x^{2}}\, dx = \left(\frac{x \sqrt{1 - 25 x^{2}}}{2} + \frac{\operatorname{asin}{\left(5 x \right)}}{10}\right) + C$$$A