$$$\frac{1 - x}{x + 1}$$$の積分

$$$\int \frac{1 - x}{x + 1}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=x + 1$$$ とする。

すると $$$du=\left(x + 1\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = du$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{\frac{1 - x}{x + 1} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{2 - u}{u} d u}}}$$

Expand the expression:

$${\color{red}{\int{\frac{2 - u}{u} d u}}} = {\color{red}{\int{\left(-1 + \frac{2}{u}\right)d u}}}$$

項別に積分せよ:

$${\color{red}{\int{\left(-1 + \frac{2}{u}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{1 d u} + \int{\frac{2}{u} d u}\right)}}$$

$$$c=1$$$ に対して定数則 $$$\int c\, du = c u$$$ を適用する:

$$\int{\frac{2}{u} d u} - {\color{red}{\int{1 d u}}} = \int{\frac{2}{u} d u} - {\color{red}{u}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=2$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$$$ に対して適用する:

$$- u + {\color{red}{\int{\frac{2}{u} d u}}} = - u + {\color{red}{\left(2 \int{\frac{1}{u} d u}\right)}}$$

$$$\frac{1}{u}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$ です:

$$- u + 2 {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = - u + 2 {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=x + 1$$$:

$$2 \ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} - {\color{red}{u}} = 2 \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(x + 1\right)}}}\right| \right)} - {\color{red}{\left(x + 1\right)}}$$

したがって、

$$\int{\frac{1 - x}{x + 1} d x} = - x + 2 \ln{\left(\left|{x + 1}\right| \right)} - 1$$

積分定数を加える（式から定数を取り除く）：

$$\int{\frac{1 - x}{x + 1} d x} = - x + 2 \ln{\left(\left|{x + 1}\right| \right)}+C$$

$$$\int \frac{1 - x}{x + 1}\, dx = \left(- x + 2 \ln\left(\left|{x + 1}\right|\right)\right) + C$$$A