SVD di $$$\left[\begin{array}{c}2 \sqrt{2}\\2 \sqrt{2}\end{array}\right]$$$

Trova la SVD di $$$\left[\begin{array}{c}2 \sqrt{2}\\2 \sqrt{2}\end{array}\right]$$$.

Trova la trasposta della matrice: $$$\left[\begin{array}{c}2 \sqrt{2}\\2 \sqrt{2}\end{array}\right]^{T} = \left[\begin{array}{cc}2 \sqrt{2} & 2 \sqrt{2}\end{array}\right]$$$ (per i passaggi, vedi calcolatore di trasposta di matrice).

Moltiplica la matrice per la sua trasposta: $$$W = \left[\begin{array}{c}2 \sqrt{2}\\2 \sqrt{2}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}2 \sqrt{2} & 2 \sqrt{2}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}8 & 8\\8 & 8\end{array}\right]$$$ (per i passaggi, vedi calcolatrice per la moltiplicazione di matrici).

Ora, trova gli autovalori e gli autovettori di $$$W$$$ (per i passaggi, vedi calcolatore di autovalori e autovettori).

Autovalore: $$$16$$$, autovettore: $$$\left[\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right]$$$.

Autovalore: $$$0$$$, autovettore: $$$\left[\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right]$$$.

Trova le radici quadrate degli autovalori non nulli ($$$\sigma_{i}$$$):

$$$\sigma_{1} = 4$$$

La matrice $$$\Sigma$$$ è una matrice nulla con $$$\sigma_{i}$$$ sulla sua diagonale: $$$\Sigma = \left[\begin{array}{c}4\\0\end{array}\right]$$$.

Le colonne della matrice $$$U$$$ sono i vettori normalizzati (unitari): $$$U = \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & - \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]$$$ (per i passaggi per trovare un vettore unitario, vedi calcolatore di vettore unitario).

Ora, $$$v_{i} = \frac{1}{\sigma_{i}}\cdot \left[\begin{array}{c}2 \sqrt{2}\\2 \sqrt{2}\end{array}\right]^{T}\cdot u_{i}$$$:

$$$v_{1} = \frac{1}{\sigma_{1}}\cdot \left[\begin{array}{c}2 \sqrt{2}\\2 \sqrt{2}\end{array}\right]^{T}\cdot u_{1} = \frac{1}{4}\cdot \left[\begin{array}{cc}2 \sqrt{2} & 2 \sqrt{2}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}\frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}1\end{array}\right]$$$ (per i passaggi, vedi calcolatrice per la moltiplicazione di una matrice per uno scalare e calcolatrice per il prodotto di matrici).

Pertanto, $$$V = \left[\begin{array}{c}1\end{array}\right]$$$.

Le matrici $$$U$$$, $$$\Sigma$$$ e $$$V$$$ sono tali che la matrice iniziale $$$\left[\begin{array}{c}2 \sqrt{2}\\2 \sqrt{2}\end{array}\right] = U \Sigma V^T$$$.

$$$U = \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & - \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{cc}0.707106781186548 & -0.707106781186548\\0.707106781186548 & 0.707106781186548\end{array}\right]$$$A

$$$\Sigma = \left[\begin{array}{c}4\\0\end{array}\right]$$$A

$$$V = \left[\begin{array}{c}1\end{array}\right]$$$A