Inversa di $$$\left[\begin{array}{cc}1 & 2\\3 & 4\end{array}\right]$$$

Calcola $$$\left[\begin{array}{cc}1 & 2\\3 & 4\end{array}\right]^{-1}$$$ usando l'eliminazione di Gauss-Jordan.

Per trovare la matrice inversa, affianca ad essa la matrice identità ed esegui operazioni elementari di riga cercando di ottenere la matrice identità a sinistra. A quel punto, a destra si otterrà la matrice inversa.

Quindi, forma la matrice aumentata con la matrice identità:

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & 2 & 1 & 0\\3 & 4 & 0 & 1\end{array}\right]$$$

Sottrai la riga $$$1$$$ moltiplicata per $$$3$$$ dalla riga $$$2$$$: $$$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$$$.

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & 2 & 1 & 0\\0 & -2 & -3 & 1\end{array}\right]$$$

Dividi la riga $$$2$$$ per $$$-2$$$: $$$R_{2} = - \frac{R_{2}}{2}$$$.

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & 2 & 1 & 0\\0 & 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2}\end{array}\right]$$$

Sottrai la riga $$$2$$$ moltiplicata per $$$2$$$ dalla riga $$$1$$$: $$$R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$$$.

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & 0 & -2 & 1\\0 & 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2}\end{array}\right]$$$

Abbiamo finito. A sinistra c’è la matrice identità. A destra c’è la matrice inversa.

La matrice inversa è $$$\left[\begin{array}{cc}-2 & 1\\\frac{3}{2} & - \frac{1}{2}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}-2 & 1\\1.5 & -0.5\end{array}\right].$$$A