Inversa di $$$\left[\begin{array}{cc}1 & -1\\1 & 1\end{array}\right]$$$

Calcola $$$\left[\begin{array}{cc}1 & -1\\1 & 1\end{array}\right]^{-1}$$$ usando l'eliminazione di Gauss-Jordan.

Per trovare la matrice inversa, affianca ad essa la matrice identità ed esegui operazioni elementari di riga cercando di ottenere la matrice identità a sinistra. A quel punto, a destra si otterrà la matrice inversa.

Quindi, forma la matrice aumentata con la matrice identità:

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & -1 & 1 & 0\\1 & 1 & 0 & 1\end{array}\right]$$$

Sottrai la riga $$$1$$$ dalla riga $$$2$$$: $$$R_{2} = R_{2} - R_{1}$$$.

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & -1 & 1 & 0\\0 & 2 & -1 & 1\end{array}\right]$$$

Dividi la riga $$$2$$$ per $$$2$$$: $$$R_{2} = \frac{R_{2}}{2}$$$.

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & -1 & 1 & 0\\0 & 1 & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]$$$

Aggiungi la riga $$$2$$$ alla riga $$$1$$$: $$$R_{1} = R_{1} + R_{2}$$$.

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\0 & 1 & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]$$$

Abbiamo finito. A sinistra c’è la matrice identità. A destra c’è la matrice inversa.

La matrice inversa è $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\- \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}0.5 & 0.5\\-0.5 & 0.5\end{array}\right].$$$A