Autovalori e autovettori di $$$\left[\begin{array}{cc}2 t^{2} & - t^{2}\\- t^{2} & t^{2}\end{array}\right]$$$

Trova gli autovalori e gli autovettori di $$$\left[\begin{array}{cc}2 t^{2} & - t^{2}\\- t^{2} & t^{2}\end{array}\right]$$$.

Inizia formando una nuova matrice sottraendo $$$\lambda$$$ dagli elementi diagonali della matrice data: $$$\left[\begin{array}{cc}- \lambda + 2 t^{2} & - t^{2}\\- t^{2} & - \lambda + t^{2}\end{array}\right]$$$.

Il determinante della matrice ottenuta è $$$\lambda^{2} - 3 \lambda t^{2} + t^{4}$$$ (per i passaggi, vedi calcolatore del determinante).

Risolvi l'equazione $$$\lambda^{2} - 3 \lambda t^{2} + t^{4} = 0$$$.

Le radici sono $$$\lambda_{1} = \frac{t^{2} \left(3 - \sqrt{5}\right)}{2}$$$, $$$\lambda_{2} = \frac{t^{2} \left(\sqrt{5} + 3\right)}{2}$$$ (per i passaggi, vedi risolutore di equazioni).

Questi sono gli autovalori.

Successivamente, trova gli autovettori.

• $$$\lambda = \frac{t^{2} \left(3 - \sqrt{5}\right)}{2}$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}- \lambda + 2 t^{2} & - t^{2}\\- t^{2} & - \lambda + t^{2}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}- \frac{t^{2} \left(3 - \sqrt{5}\right)}{2} + 2 t^{2} & - t^{2}\\- t^{2} & - \frac{t^{2} \left(3 - \sqrt{5}\right)}{2} + t^{2}\end{array}\right]$$$

  Lo spazio nullo di questa matrice è $$$\left\{\left[\begin{array}{c}\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (per i passaggi, vedi calcolatore dello spazio nullo).

  Questo è l'autovettore.

• $$$\lambda = \frac{t^{2} \left(\sqrt{5} + 3\right)}{2}$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}- \lambda + 2 t^{2} & - t^{2}\\- t^{2} & - \lambda + t^{2}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}- \frac{t^{2} \left(\sqrt{5} + 3\right)}{2} + 2 t^{2} & - t^{2}\\- t^{2} & - \frac{t^{2} \left(\sqrt{5} + 3\right)}{2} + t^{2}\end{array}\right]$$$

  Lo spazio nullo di questa matrice è $$$\left\{\left[\begin{array}{c}- \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (per i passaggi, vedi calcolatore dello spazio nullo).

  Questo è l'autovettore.

Autovalore: $$$\frac{t^{2} \left(3 - \sqrt{5}\right)}{2}\approx 0.381966011250105 t^{2}$$$A, molteplicità: $$$1$$$A, autovettore: $$$\left[\begin{array}{c}\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\\1\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{c}0.618033988749895\\1\end{array}\right]$$$A.

Autovalore: $$$\frac{t^{2} \left(\sqrt{5} + 3\right)}{2}\approx 2.618033988749895 t^{2}$$$A, molteplicità: $$$1$$$A, autovettore: $$$\left[\begin{array}{c}- \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\\1\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{c}-1.618033988749895\\1\end{array}\right]$$$A.