Calcolatrice della regola del trapezio per una funzione
Approssimare un integrale (dato da una funzione) usando la regola dei trapezi passo dopo passo
Il calcolatore approssimerà l'integrale utilizzando il metodo dei trapezi, mostrando i passaggi.
Calcolatore correlato: Calcolatore della regola dei trapezi per una tabella
Il tuo input
Approssima l'integrale $$$\int\limits_{0}^{1} \sqrt{\sin^{3}{\left(x \right)} + 1}\, dx$$$ con $$$n = 5$$$ utilizzando la regola dei trapezi.
Soluzione
La regola del trapezio utilizza trapezi per approssimare l'area:
$$$\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \frac{\Delta x}{2} \left(f{\left(x_{0} \right)} + 2 f{\left(x_{1} \right)} + 2 f{\left(x_{2} \right)} + 2 f{\left(x_{3} \right)}+\dots+2 f{\left(x_{n-2} \right)} + 2 f{\left(x_{n-1} \right)} + f{\left(x_{n} \right)}\right)$$$
dove $$$\Delta x = \frac{b - a}{n}$$$.
Si ha che $$$f{\left(x \right)} = \sqrt{\sin^{3}{\left(x \right)} + 1}$$$, $$$a = 0$$$, $$$b = 1$$$ e $$$n = 5$$$.
Pertanto, $$$\Delta x = \frac{1 - 0}{5} = \frac{1}{5}$$$.
Dividi l'intervallo $$$\left[0, 1\right]$$$ in $$$n = 5$$$ sottointervalli di lunghezza $$$\Delta x = \frac{1}{5}$$$ con i seguenti estremi: $$$a = 0$$$, $$$\frac{1}{5}$$$, $$$\frac{2}{5}$$$, $$$\frac{3}{5}$$$, $$$\frac{4}{5}$$$, $$$1 = b$$$.
Ora, valuta semplicemente la funzione in questi estremi.
$$$f{\left(x_{0} \right)} = f{\left(0 \right)} = 1$$$
$$$2 f{\left(x_{1} \right)} = 2 f{\left(\frac{1}{5} \right)} = 2 \sqrt{\sin^{3}{\left(\frac{1}{5} \right)} + 1}\approx 2.007826067912793$$$
$$$2 f{\left(x_{2} \right)} = 2 f{\left(\frac{2}{5} \right)} = 2 \sqrt{\sin^{3}{\left(\frac{2}{5} \right)} + 1}\approx 2.058206972332648$$$
$$$2 f{\left(x_{3} \right)} = 2 f{\left(\frac{3}{5} \right)} = 2 \sqrt{\sin^{3}{\left(\frac{3}{5} \right)} + 1}\approx 2.17257446116512$$$
$$$2 f{\left(x_{4} \right)} = 2 f{\left(\frac{4}{5} \right)} = 2 \sqrt{\sin^{3}{\left(\frac{4}{5} \right)} + 1}\approx 2.340214753424868$$$
$$$f{\left(x_{5} \right)} = f{\left(1 \right)} = \sqrt{\sin^{3}{\left(1 \right)} + 1}\approx 1.263258974474734$$$
Infine, somma i valori ottenuti sopra e moltiplica per $$$\frac{\Delta x}{2} = \frac{1}{10}$$$: $$$\frac{1}{10} \left(1 + 2.007826067912793 + 2.058206972332648 + 2.17257446116512 + 2.340214753424868 + 1.263258974474734\right) = 1.084208122931016.$$$
Risposta
$$$\int\limits_{0}^{1} \sqrt{\sin^{3}{\left(x \right)} + 1}\, dx\approx 1.084208122931016$$$A