Calcolatore dell'approssimazione per estremi destri di una funzione

Approssima l’integrale $$$\int\limits_{1}^{5} \sqrt{\sin^{5}{\left(x \right)} + 1}\, dx$$$ con $$$n = 4$$$ utilizzando l’approssimazione con estremi destri.

La somma di Riemann destra (nota anche come approssimazione con estremo destro) usa l’estremo destro di un sottointervallo per calcolare l’altezza del rettangolo approssimante:

$$$\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \Delta x \left(f{\left(x_{1} \right)} + f{\left(x_{2} \right)} + f{\left(x_{3} \right)}+\dots+f{\left(x_{n-1} \right)} + f{\left(x_{n} \right)}\right)$$$

dove $$$\Delta x = \frac{b - a}{n}$$$.

Si ha che $$$f{\left(x \right)} = \sqrt{\sin^{5}{\left(x \right)} + 1}$$$, $$$a = 1$$$, $$$b = 5$$$ e $$$n = 4$$$.

Pertanto, $$$\Delta x = \frac{5 - 1}{4} = 1$$$.

Dividi l'intervallo $$$\left[1, 5\right]$$$ in $$$n = 4$$$ sottointervalli di lunghezza $$$\Delta x = 1$$$ con i seguenti estremi: $$$a = 1$$$, $$$2$$$, $$$3$$$, $$$4$$$, $$$5 = b$$$.

Ora, valuta semplicemente la funzione agli estremi destri dei sottointervalli.

$$$f{\left(x_{1} \right)} = f{\left(2 \right)} = \sqrt{\sin^{5}{\left(2 \right)} + 1}\approx 1.273431158532973$$$

$$$f{\left(x_{2} \right)} = f{\left(3 \right)} = \sqrt{\sin^{5}{\left(3 \right)} + 1}\approx 1.000027983813047$$$

$$$f{\left(x_{3} \right)} = f{\left(4 \right)} = \sqrt{\sin^{5}{\left(4 \right)} + 1}\approx 0.867027424870839$$$

$$$f{\left(x_{4} \right)} = f{\left(5 \right)} = \sqrt{\sin^{5}{\left(5 \right)} + 1}\approx 0.434954473370867$$$

Infine, somma i valori ottenuti sopra e moltiplica per $$$\Delta x = 1$$$: $$$1 \left(1.273431158532973 + 1.000027983813047 + 0.867027424870839 + 0.434954473370867\right) = 3.575441040587726.$$$

$$$\int\limits_{1}^{5} \sqrt{\sin^{5}{\left(x \right)} + 1}\, dx\approx 3.575441040587726$$$A