Calcolatore per l'approssimazione con estremo sinistro di una funzione
Approssima un integrale (dato da una funzione) usando gli estremi sinistri passo dopo passo
Una calcolatrice online per approssimare l'integrale definito utilizzando gli estremi sinistri (la somma di Riemann a sinistra), con i passaggi mostrati.
Calcolatore correlato: Calcolatore dell'approssimazione con estremo sinistro per una tabella
Il tuo input
Approssima l'integrale $$$\int\limits_{0}^{4} \sqrt{\cos^{4}{\left(x \right)} + 2}\, dx$$$ con $$$n = 5$$$ usando l'approssimazione con estremo sinistro.
Soluzione
La somma di Riemann sinistra (nota anche come approssimazione con l’estremo sinistro) utilizza l’estremo sinistro di un sottointervallo per calcolare l’altezza del rettangolo approssimante:
$$$\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \Delta x \left(f{\left(x_{0} \right)} + f{\left(x_{1} \right)} + f{\left(x_{2} \right)}+\dots+f{\left(x_{n-2} \right)} + f{\left(x_{n-1} \right)}\right)$$$
dove $$$\Delta x = \frac{b - a}{n}$$$.
Si ha che $$$f{\left(x \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(x \right)} + 2}$$$, $$$a = 0$$$, $$$b = 4$$$ e $$$n = 5$$$.
Pertanto, $$$\Delta x = \frac{4 - 0}{5} = \frac{4}{5}$$$.
Dividi l'intervallo $$$\left[0, 4\right]$$$ in $$$n = 5$$$ sottointervalli di lunghezza $$$\Delta x = \frac{4}{5}$$$ con i seguenti estremi: $$$a = 0$$$, $$$\frac{4}{5}$$$, $$$\frac{8}{5}$$$, $$$\frac{12}{5}$$$, $$$\frac{16}{5}$$$, $$$4 = b$$$.
Ora, valuta semplicemente la funzione agli estremi sinistri dei sottointervalli.
$$$f{\left(x_{0} \right)} = f{\left(0 \right)} = \sqrt{3}\approx 1.732050807568877$$$
$$$f{\left(x_{1} \right)} = f{\left(\frac{4}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{4}{5} \right)} + 2}\approx 1.495196773630485$$$
$$$f{\left(x_{2} \right)} = f{\left(\frac{8}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{8}{5} \right)} + 2}\approx 1.414213819387789$$$
$$$f{\left(x_{3} \right)} = f{\left(\frac{12}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{12}{5} \right)} + 2}\approx 1.515144715776502$$$
$$$f{\left(x_{4} \right)} = f{\left(\frac{16}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{16}{5} \right)} + 2}\approx 1.730085700215823$$$
Infine, somma i valori ottenuti sopra e moltiplica per $$$\Delta x = \frac{4}{5}$$$: $$$\frac{4}{5} \left(1.732050807568877 + 1.495196773630485 + 1.414213819387789 + 1.515144715776502 + 1.730085700215823\right) = 6.309353453263581.$$$
Risposta
$$$\int\limits_{0}^{4} \sqrt{\cos^{4}{\left(x \right)} + 2}\, dx\approx 6.309353453263581$$$A