Integrale di $$$\left(1 - x\right)^{2}$$$

Trova $$$\int \left(1 - x\right)^{2}\, dx$$$.

Sia $$$u=1 - x$$$.

Quindi $$$du=\left(1 - x\right)^{\prime }dx = - dx$$$ (i passaggi si possono vedere »), e si ha che $$$dx = - du$$$.

Pertanto,

$${\color{red}{\int{\left(1 - x\right)^{2} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- u^{2}\right)d u}}}$$

Applica la regola del fattore costante $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ con $$$c=-1$$$ e $$$f{\left(u \right)} = u^{2}$$$:

$${\color{red}{\int{\left(- u^{2}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{u^{2} d u}\right)}}$$

Applica la regola della potenza $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ con $$$n=2$$$:

$$- {\color{red}{\int{u^{2} d u}}}=- {\color{red}{\frac{u^{1 + 2}}{1 + 2}}}=- {\color{red}{\left(\frac{u^{3}}{3}\right)}}$$

Ricordiamo che $$$u=1 - x$$$:

$$- \frac{{\color{red}{u}}^{3}}{3} = - \frac{{\color{red}{\left(1 - x\right)}}^{3}}{3}$$

Pertanto,

$$\int{\left(1 - x\right)^{2} d x} = - \frac{\left(1 - x\right)^{3}}{3}$$

Semplifica:

$$\int{\left(1 - x\right)^{2} d x} = \frac{\left(x - 1\right)^{3}}{3}$$

Aggiungi la costante di integrazione:

$$\int{\left(1 - x\right)^{2} d x} = \frac{\left(x - 1\right)^{3}}{3}+C$$

$$$\int \left(1 - x\right)^{2}\, dx = \frac{\left(x - 1\right)^{3}}{3} + C$$$A