Proprietà dell'ellisse $$$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{5} = 1$$$

Trova il centro, i fuochi, i vertici, i covertici, la lunghezza dell'asse maggiore, la lunghezza del semiasse maggiore, la lunghezza dell'asse minore, la lunghezza del semiasse minore, l'area, il perimetro, i lati retti, la lunghezza dei lati retti (larghezza focale), il parametro focale, l'eccentricità, l'eccentricità lineare (distanza focale), le direttrici, le intersezioni con l'asse x, le intersezioni con l'asse y, il dominio e l'immagine dell'ellisse $$$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{5} = 1$$$.

L'equazione di un'ellisse è $$$\frac{\left(x - h\right)^{2}}{a^{2}} + \frac{\left(y - k\right)^{2}}{b^{2}} = 1$$$, dove $$$\left(h, k\right)$$$ è il centro, $$$b$$$ e $$$a$$$ sono le lunghezze dei semiassi maggiore e minore.

La nostra ellisse in questa forma è $$$\frac{\left(x - 0\right)^{2}}{4} + \frac{\left(y - 0\right)^{2}}{5} = 1$$$.

Quindi, $$$h = 0$$$, $$$k = 0$$$, $$$a = 2$$$, $$$b = \sqrt{5}$$$.

La forma standard è $$$\frac{x^{2}}{2^{2}} + \frac{y^{2}}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}} = 1$$$.

La forma al vertice è $$$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{5} = 1$$$.

La forma generale è $$$5 x^{2} + 4 y^{2} - 20 = 0$$$.

L'eccentricità lineare (semidistanza focale) è $$$c = \sqrt{b^{2} - a^{2}} = 1$$$.

L'eccentricità è $$$e = \frac{c}{b} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$$.

Il primo fuoco è $$$\left(h, k - c\right) = \left(0, -1\right)$$$.

Il secondo fuoco è $$$\left(h, k + c\right) = \left(0, 1\right)$$$.

Il primo vertice è $$$\left(h, k - b\right) = \left(0, - \sqrt{5}\right)$$$.

Il secondo vertice è $$$\left(h, k + b\right) = \left(0, \sqrt{5}\right)$$$.

Il primo co-vertice è $$$\left(h - a, k\right) = \left(-2, 0\right)$$$.

Il secondo covertice è $$$\left(h + a, k\right) = \left(2, 0\right)$$$.

La lunghezza dell’asse maggiore è $$$2 b = 2 \sqrt{5}$$$.

La lunghezza dell'asse minore è $$$2 a = 4$$$.

L'area è $$$\pi a b = 2 \sqrt{5} \pi$$$.

La circonferenza è $$$4 b E\left(\frac{\pi}{2}\middle| e^{2}\right) = 4 \sqrt{5} E\left(\frac{1}{5}\right)$$$.

Il parametro focale è la distanza tra il fuoco e la direttrice: $$$\frac{a^{2}}{c} = 4$$$.

I latera recta sono le rette parallele all'asse minore che passano per i fuochi.

Il primo lato retto è $$$y = -1$$$.

Il secondo lato retto è $$$y = 1$$$.

Gli estremi del primo lato retto si trovano risolvendo il sistema $$$\begin{cases} 5 x^{2} + 4 y^{2} - 20 = 0 \\ y = -1 \end{cases}$$$ (per i passaggi, vedi calcolatrice di sistemi di equazioni).

Gli estremi del primo lato retto sono $$$\left(- \frac{4 \sqrt{5}}{5}, -1\right)$$$, $$$\left(\frac{4 \sqrt{5}}{5}, -1\right)$$$.

Gli estremi del secondo lato retto possono essere trovati risolvendo il sistema $$$\begin{cases} 5 x^{2} + 4 y^{2} - 20 = 0 \\ y = 1 \end{cases}$$$ (per i passaggi, vedi calcolatore di sistemi di equazioni).

Gli estremi del secondo lato retto sono $$$\left(- \frac{4 \sqrt{5}}{5}, 1\right)$$$, $$$\left(\frac{4 \sqrt{5}}{5}, 1\right)$$$.

La lunghezza dei lati retti (larghezza focale) è $$$\frac{2 a^{2}}{b} = \frac{8 \sqrt{5}}{5}$$$.

La prima direttrice è $$$y = k - \frac{b^{2}}{c} = -5$$$.

La seconda direttrice è $$$y = k + \frac{b^{2}}{c} = 5$$$.

Le intercette x si ottengono ponendo $$$y = 0$$$ nell’equazione e risolvendo rispetto a $$$x$$$ (per i passaggi, vedi calcolatore delle intercette).

intercette sull'asse x: $$$\left(-2, 0\right)$$$, $$$\left(2, 0\right)$$$

Le intercette sull'asse y possono essere trovate ponendo $$$x = 0$$$ nell'equazione e risolvendo rispetto a $$$y$$$: (per i passaggi, vedi calcolatore delle intercette).

intersezioni con l'asse y: $$$\left(0, - \sqrt{5}\right)$$$, $$$\left(0, \sqrt{5}\right)$$$

Il dominio è $$$\left[h - a, h + a\right] = \left[-2, 2\right]$$$.

L'immagine è $$$\left[k - b, k + b\right] = \left[- \sqrt{5}, \sqrt{5}\right]$$$.

Forma/Equazione standard: $$$\frac{x^{2}}{2^{2}} + \frac{y^{2}}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}} = 1$$$A.

Forma/equazione canonica: $$$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{5} = 1$$$A.

Forma/equazione generale: $$$5 x^{2} + 4 y^{2} - 20 = 0$$$A.

Prima forma/equazione fuoco-direttrice: $$$x^{2} + \left(y + 1\right)^{2} = \frac{\left(y + 5\right)^{2}}{5}$$$A.

Seconda forma/equazione fuoco-direttrice: $$$x^{2} + \left(y - 1\right)^{2} = \frac{\left(y - 5\right)^{2}}{5}$$$A.

Grafico: vedi la calcolatrice grafica.

Centro: $$$\left(0, 0\right)$$$A.

Primo fuoco: $$$\left(0, -1\right)$$$A.

Secondo fuoco: $$$\left(0, 1\right)$$$A.

Primo vertice: $$$\left(0, - \sqrt{5}\right)\approx \left(0, -2.23606797749979\right)$$$A.

Secondo vertice: $$$\left(0, \sqrt{5}\right)\approx \left(0, 2.23606797749979\right)$$$A.

Primo co-vertice: $$$\left(-2, 0\right)$$$A.

Secondo co-vertice: $$$\left(2, 0\right)$$$A.

Lunghezza dell'asse maggiore: $$$2 \sqrt{5}\approx 4.472135954999579$$$A.

Lunghezza del semiasse maggiore: $$$\sqrt{5}\approx 2.23606797749979$$$A.

Lunghezza dell'asse minore: $$$4$$$A.

Lunghezza del semiasse minore: $$$2$$$A.

Area: $$$2 \sqrt{5} \pi\approx 14.049629462081453$$$A.

Circonferenza: $$$4 \sqrt{5} E\left(\frac{1}{5}\right)\approx 13.318334443130703$$$A.

Primo lato retto: $$$y = -1$$$A.

Secondo lato retto: $$$y = 1$$$A.

Estremi del primo lato retto: $$$\left(- \frac{4 \sqrt{5}}{5}, -1\right)\approx \left(-1.788854381999832, -1\right)$$$, $$$\left(\frac{4 \sqrt{5}}{5}, -1\right)\approx \left(1.788854381999832, -1\right)$$$A.

Estremi del secondo lato retto: $$$\left(- \frac{4 \sqrt{5}}{5}, 1\right)\approx \left(-1.788854381999832, 1\right)$$$, $$$\left(\frac{4 \sqrt{5}}{5}, 1\right)\approx \left(1.788854381999832, 1\right)$$$A.

Lunghezza dei lati retti (larghezza focale): $$$\frac{8 \sqrt{5}}{5}\approx 3.577708763999664$$$A.

Parametro focale: $$$4$$$A.

Eccentricità: $$$\frac{\sqrt{5}}{5}\approx 0.447213595499958$$$A.

Eccentricità lineare (semidistanza focale): $$$1$$$A.

Prima direttrice: $$$y = -5$$$A.

Seconda direttrice: $$$y = 5$$$A.

Intersezioni con l'asse x: $$$\left(-2, 0\right)$$$, $$$\left(2, 0\right)$$$A.

intercette con l'asse y: $$$\left(0, - \sqrt{5}\right)\approx \left(0, -2.23606797749979\right)$$$, $$$\left(0, \sqrt{5}\right)\approx \left(0, 2.23606797749979\right)$$$A.

Dominio: $$$\left[-2, 2\right]$$$A.

Immagine: $$$\left[- \sqrt{5}, \sqrt{5}\right]\approx \left[-2.23606797749979, 2.23606797749979\right]$$$A.