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Calculatrice d'algèbre linéaire
Résolvez des problèmes d’algèbre linéaire étape par étape
Votre saisie
Déterminez la décomposition en valeurs singulières (SVD) de $$$\left[\begin{array}{cc}1 & 1\\0 & 1\end{array}\right]$$$.
Solution
Trouvez la transposée de la matrice : $$$\left[\begin{array}{cc}1 & 1\\0 & 1\end{array}\right]^{T} = \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\1 & 1\end{array}\right]$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de transposée de matrice).
Multipliez la matrice par sa transposée : $$$W = \left[\begin{array}{cc}1 & 1\\0 & 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\1 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}2 & 1\\1 & 1\end{array}\right]$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de multiplication de matrices).
Maintenant, trouvez les valeurs propres et les vecteurs propres de $$$W$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de valeurs propres et de vecteurs propres).
Valeur propre : $$$- \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}$$$, vecteur propre : $$$\left[\begin{array}{c}- \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\\1\end{array}\right]$$$.
Valeur propre : $$$\frac{\sqrt{5} + 3}{2}$$$, vecteur propre : $$$\left[\begin{array}{c}\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\\1\end{array}\right]$$$.
Trouvez les racines carrées des valeurs propres non nulles ($$$\sigma_{i}$$$) :
$$$\sigma_{1} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3 - \sqrt{5}}}{2}$$$
$$$\sigma_{2} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 3}}{2}$$$
La matrice $$$\Sigma$$$ est une matrice nulle avec $$$\sigma_{i}$$$ sur sa diagonale : $$$\Sigma = \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2} \sqrt{3 - \sqrt{5}}}{2} & 0\\0 & \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 3}}{2}\end{array}\right].$$$
Les colonnes de la matrice $$$U$$$ sont les vecteurs normalisés (unitaires) : $$$U = \left[\begin{array}{cc}\frac{- \sqrt{10} + \sqrt{2}}{2 \sqrt{5 - \sqrt{5}}} & \frac{\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2 \sqrt{\sqrt{5} + 5}}\\\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5 - \sqrt{5}}} & \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{5} + 5}}\end{array}\right]$$$ (pour les étapes permettant de trouver un vecteur unitaire, voir calculateur de vecteur unitaire).
Maintenant, $$$v_{i} = \frac{1}{\sigma_{i}}\cdot \left[\begin{array}{cc}1 & 1\\0 & 1\end{array}\right]^{T}\cdot u_{i}$$$:
$$$v_{1} = \frac{1}{\sigma_{1}}\cdot \left[\begin{array}{cc}1 & 1\\0 & 1\end{array}\right]^{T}\cdot u_{1} = \frac{1}{\frac{\sqrt{2} \sqrt{3 - \sqrt{5}}}{2}}\cdot \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\1 & 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}\frac{- \sqrt{10} + \sqrt{2}}{2 \sqrt{5 - \sqrt{5}}}\\\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5 - \sqrt{5}}}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}\frac{1 - \sqrt{5}}{2 \sqrt{5 - 2 \sqrt{5}}}\\\frac{3 - \sqrt{5}}{2 \sqrt{5 - 2 \sqrt{5}}}\end{array}\right]$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de multiplication d'une matrice par un scalaire et calculatrice de multiplication de matrices).
$$$v_{2} = \frac{1}{\sigma_{2}}\cdot \left[\begin{array}{cc}1 & 1\\0 & 1\end{array}\right]^{T}\cdot u_{2} = \frac{1}{\frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 3}}{2}}\cdot \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\1 & 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}\frac{\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2 \sqrt{\sqrt{5} + 5}}\\\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{5} + 5}}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}\frac{1 + \sqrt{5}}{2 \sqrt{2 \sqrt{5} + 5}}\\\frac{\sqrt{5} + 3}{2 \sqrt{2 \sqrt{5} + 5}}\end{array}\right]$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de multiplication d'une matrice par un scalaire et calculatrice de multiplication de matrices).
Donc, $$$V = \left[\begin{array}{cc}\frac{1 - \sqrt{5}}{2 \sqrt{5 - 2 \sqrt{5}}} & \frac{1 + \sqrt{5}}{2 \sqrt{2 \sqrt{5} + 5}}\\\frac{3 - \sqrt{5}}{2 \sqrt{5 - 2 \sqrt{5}}} & \frac{\sqrt{5} + 3}{2 \sqrt{2 \sqrt{5} + 5}}\end{array}\right].$$$
Les matrices $$$U$$$, $$$\Sigma$$$ et $$$V$$$ sont telles que la matrice initiale satisfait $$$\left[\begin{array}{cc}1 & 1\\0 & 1\end{array}\right] = U \Sigma V^T$$$.
Réponse
$$$U = \left[\begin{array}{cc}\frac{- \sqrt{10} + \sqrt{2}}{2 \sqrt{5 - \sqrt{5}}} & \frac{\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2 \sqrt{\sqrt{5} + 5}}\\\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5 - \sqrt{5}}} & \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{5} + 5}}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{cc}-0.525731112119134 & 0.85065080835204\\0.85065080835204 & 0.525731112119134\end{array}\right]$$$A
$$$\Sigma = \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2} \sqrt{3 - \sqrt{5}}}{2} & 0\\0 & \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 3}}{2}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{cc}0.618033988749895 & 0\\0 & 1.618033988749895\end{array}\right]$$$A
$$$V = \left[\begin{array}{cc}\frac{1 - \sqrt{5}}{2 \sqrt{5 - 2 \sqrt{5}}} & \frac{1 + \sqrt{5}}{2 \sqrt{2 \sqrt{5} + 5}}\\\frac{3 - \sqrt{5}}{2 \sqrt{5 - 2 \sqrt{5}}} & \frac{\sqrt{5} + 3}{2 \sqrt{2 \sqrt{5} + 5}}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{cc}-0.85065080835204 & 0.525731112119134\\0.525731112119134 & 0.85065080835204\end{array}\right]$$$A