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Calculatrice de régression quadratique

Trouvez des paraboles d’ajustement par moindres carrés étape par étape

La calculatrice déterminera, pour l’ensemble de données appariées donné, la régression quadratique par la méthode des moindres carrés, avec les étapes détaillées.

Calculatrices associées: Calculatrice de régression linéaire, Calculatrice de régression cubique

Séparés par des virgules.
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Votre saisie

Trouvez la parabole de meilleur ajustement pour $$$\left\{\left(1, 0\right), \left(4, 5\right), \left(6, 2\right), \left(7, 1\right), \left(3, -3\right)\right\}$$$.

Solution

Le nombre d'observations est $$$n = 5$$$.

Générez le tableau suivant :

$$$x$$$$$$y$$$$$$x y$$$$$$x^{2}$$$$$$x^{2} y$$$$$$x^{3}$$$$$$x^{4}$$$$$$y^{2}$$$
$$$1$$$$$$0$$$$$$0$$$$$$1$$$$$$0$$$$$$1$$$$$$1$$$$$$0$$$
$$$4$$$$$$5$$$$$$20$$$$$$16$$$$$$80$$$$$$64$$$$$$256$$$$$$25$$$
$$$6$$$$$$2$$$$$$12$$$$$$36$$$$$$72$$$$$$216$$$$$$1296$$$$$$4$$$
$$$7$$$$$$1$$$$$$7$$$$$$49$$$$$$49$$$$$$343$$$$$$2401$$$$$$1$$$
$$$3$$$$$$-3$$$$$$-9$$$$$$9$$$$$$-27$$$$$$27$$$$$$81$$$$$$9$$$
$$$\sum$$$$$$21$$$$$$5$$$$$$30$$$$$$111$$$$$$174$$$$$$651$$$$$$4035$$$$$$39$$$

$$$a = \frac{(n(\sum x^2y)-(\sum x^2)(\sum y))(n(\sum x^2)-(\sum x)^2)-(n(\sum xy)-(\sum x)(\sum y))(n(\sum x^3)-(\sum x^2)(\sum x)))}{(n(\sum x^4)-(\sum x^2)^2)(n(\sum x^2)-(\sum x)^2)-(n(\sum x^3)-(\sum x^2)(\sum x))^2} = \frac{\left(5 \cdot 174 - \left(111\right)\cdot \left(5\right)\right)\cdot \left(5 \cdot 111 - 21^{2}\right) - \left(5 \cdot 30 - \left(21\right)\cdot \left(5\right)\right)\cdot \left(5 \cdot 651 - \left(111\right)\cdot \left(21\right)\right)}{\left(5 \cdot 4035 - 111^{2}\right)\cdot \left(5 \cdot 111 - 21^{2}\right) - \left(5 \cdot 651 - \left(111\right)\cdot \left(21\right)\right)^{2}} = - \frac{3}{22}$$$

$$$b = \frac{(n(\sum xy)-(\sum x)(\sum y))(n(\sum x^4)-(\sum x^2)^2)-(n(\sum x^2y)-(\sum x^2)(\sum y))(n(\sum x^3)-(\sum x^2)(\sum x)))}{(n(\sum x^4)-(\sum x^2)^2)(n(\sum x^2)-(\sum x)^2)-(n(\sum x^3)-(\sum x^2)(\sum x))^2} = \frac{\left(5 \cdot 30 - \left(21\right)\cdot \left(5\right)\right)\cdot \left(5 \cdot 4035 - 111^{2}\right) - \left(5 \cdot 174 - \left(111\right)\cdot \left(5\right)\right)\cdot \left(5 \cdot 651 - \left(111\right)\cdot \left(21\right)\right)}{\left(5 \cdot 4035 - 111^{2}\right)\cdot \left(5 \cdot 111 - 21^{2}\right) - \left(5 \cdot 651 - \left(111\right)\cdot \left(21\right)\right)^{2}} = \frac{3}{2}$$$

$$$c = \frac{(\sum y)-b(\sum x)-a(\sum x^2)}{n} = \frac{5 - \left(\frac{3}{2}\right)\cdot \left(21\right) - \left(- \frac{3}{22}\right)\cdot \left(111\right)}{5} = - \frac{25}{11}$$$

La parabole de meilleur ajustement est $$$y = a x^{2} + b x + c$$$.

Ainsi, la parabole de meilleur ajustement est $$$y = - \frac{3 x^{2}}{22} + \frac{3 x}{2} - \frac{25}{11}$$$.

Réponse

La parabole de meilleur ajustement est $$$y = - \frac{3 x^{2}}{22} + \frac{3 x}{2} - \frac{25}{11}\approx - 0.136363636363636 x^{2} + 1.5 x - 2.272727272727273.$$$A