Décomposition en valeurs singulières de $$$\left[\begin{array}{cc}t & - t\\0 & t\end{array}\right]$$$

Déterminez la décomposition en valeurs singulières (SVD) de $$$\left[\begin{array}{cc}t & - t\\0 & t\end{array}\right]$$$.

Trouvez la transposée de la matrice : $$$\left[\begin{array}{cc}t & - t\\0 & t\end{array}\right]^{T} = \left[\begin{array}{cc}t & 0\\- t & t\end{array}\right]$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de transposée de matrice).

Multipliez la matrice par sa transposée : $$$W = \left[\begin{array}{cc}t & - t\\0 & t\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}t & 0\\- t & t\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}2 t^{2} & - t^{2}\\- t^{2} & t^{2}\end{array}\right]$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de multiplication de matrices).

Maintenant, trouvez les valeurs propres et les vecteurs propres de $$$W$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de valeurs propres et de vecteurs propres).

Valeur propre : $$$\frac{t^{2} \left(3 - \sqrt{5}\right)}{2}$$$, vecteur propre : $$$\left[\begin{array}{c}\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\\1\end{array}\right]$$$.

Valeur propre : $$$\frac{t^{2} \left(\sqrt{5} + 3\right)}{2}$$$, vecteur propre : $$$\left[\begin{array}{c}- \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\\1\end{array}\right]$$$.

Trouvez les racines carrées des valeurs propres non nulles ($$$\sigma_{i}$$$) :

$$$\sigma_{1} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3 - \sqrt{5}} \left|{t}\right|}{2}$$$

$$$\sigma_{2} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 3} \left|{t}\right|}{2}$$$

La matrice $$$\Sigma$$$ est une matrice nulle avec $$$\sigma_{i}$$$ sur sa diagonale : $$$\Sigma = \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2} \sqrt{3 - \sqrt{5}} \left|{t}\right|}{2} & 0\\0 & \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 3} \left|{t}\right|}{2}\end{array}\right].$$$

Les colonnes de la matrice $$$U$$$ sont les vecteurs normalisés (unitaires) : $$$U = \left[\begin{array}{cc}\frac{- \sqrt{2} + \sqrt{10}}{2 \sqrt{5 - \sqrt{5}}} & - \frac{\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2 \sqrt{\sqrt{5} + 5}}\\\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5 - \sqrt{5}}} & \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{5} + 5}}\end{array}\right]$$$ (pour les étapes permettant de trouver un vecteur unitaire, voir calculateur de vecteur unitaire).

Maintenant, $$$v_{i} = \frac{1}{\sigma_{i}}\cdot \left[\begin{array}{cc}t & - t\\0 & t\end{array}\right]^{T}\cdot u_{i}$$$:

$$$v_{1} = \frac{1}{\sigma_{1}}\cdot \left[\begin{array}{cc}t & - t\\0 & t\end{array}\right]^{T}\cdot u_{1} = \frac{1}{\frac{\sqrt{2} \sqrt{3 - \sqrt{5}} \left|{t}\right|}{2}}\cdot \left[\begin{array}{cc}t & 0\\- t & t\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}\frac{- \sqrt{2} + \sqrt{10}}{2 \sqrt{5 - \sqrt{5}}}\\\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5 - \sqrt{5}}}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}\frac{t \left(-1 + \sqrt{5}\right)}{2 \sqrt{5 - 2 \sqrt{5}} \left|{t}\right|}\\\frac{t \left(3 - \sqrt{5}\right)}{2 \sqrt{5 - 2 \sqrt{5}} \left|{t}\right|}\end{array}\right]$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de multiplication d'une matrice par un scalaire et calculatrice de multiplication de matrices).

$$$v_{2} = \frac{1}{\sigma_{2}}\cdot \left[\begin{array}{cc}t & - t\\0 & t\end{array}\right]^{T}\cdot u_{2} = \frac{1}{\frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 3} \left|{t}\right|}{2}}\cdot \left[\begin{array}{cc}t & 0\\- t & t\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2 \sqrt{\sqrt{5} + 5}}\\\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{5} + 5}}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}- \frac{t \left(1 + \sqrt{5}\right)}{2 \sqrt{2 \sqrt{5} + 5} \left|{t}\right|}\\\frac{t \left(\sqrt{5} + 3\right)}{2 \sqrt{2 \sqrt{5} + 5} \left|{t}\right|}\end{array}\right]$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de multiplication d'une matrice par un scalaire et calculatrice de multiplication de matrices).

Donc, $$$V = \left[\begin{array}{cc}\frac{t \left(-1 + \sqrt{5}\right)}{2 \sqrt{5 - 2 \sqrt{5}} \left|{t}\right|} & - \frac{t \left(1 + \sqrt{5}\right)}{2 \sqrt{2 \sqrt{5} + 5} \left|{t}\right|}\\\frac{t \left(3 - \sqrt{5}\right)}{2 \sqrt{5 - 2 \sqrt{5}} \left|{t}\right|} & \frac{t \left(\sqrt{5} + 3\right)}{2 \sqrt{2 \sqrt{5} + 5} \left|{t}\right|}\end{array}\right].$$$

Les matrices $$$U$$$, $$$\Sigma$$$ et $$$V$$$ sont telles que la matrice initiale satisfait $$$\left[\begin{array}{cc}t & - t\\0 & t\end{array}\right] = U \Sigma V^T$$$.

$$$U = \left[\begin{array}{cc}\frac{- \sqrt{2} + \sqrt{10}}{2 \sqrt{5 - \sqrt{5}}} & - \frac{\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2 \sqrt{\sqrt{5} + 5}}\\\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5 - \sqrt{5}}} & \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{5} + 5}}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{cc}0.525731112119134 & -0.85065080835204\\0.85065080835204 & 0.525731112119134\end{array}\right]$$$A

$$$\Sigma = \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2} \sqrt{3 - \sqrt{5}} \left|{t}\right|}{2} & 0\\0 & \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 3} \left|{t}\right|}{2}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{cc}0.618033988749895 \left|{t}\right| & 0\\0 & 1.618033988749895 \left|{t}\right|\end{array}\right]$$$A

$$$V = \left[\begin{array}{cc}\frac{t \left(-1 + \sqrt{5}\right)}{2 \sqrt{5 - 2 \sqrt{5}} \left|{t}\right|} & - \frac{t \left(1 + \sqrt{5}\right)}{2 \sqrt{2 \sqrt{5} + 5} \left|{t}\right|}\\\frac{t \left(3 - \sqrt{5}\right)}{2 \sqrt{5 - 2 \sqrt{5}} \left|{t}\right|} & \frac{t \left(\sqrt{5} + 3\right)}{2 \sqrt{2 \sqrt{5} + 5} \left|{t}\right|}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{cc}\frac{0.85065080835204 t}{\left|{t}\right|} & - \frac{0.525731112119134 t}{\left|{t}\right|}\\\frac{0.525731112119134 t}{\left|{t}\right|} & \frac{0.85065080835204 t}{\left|{t}\right|}\end{array}\right]$$$A