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Valeurs propres et vecteurs propres de $$$\left[\begin{array}{cc}2 t^{2} & - t^{2}\\- t^{2} & t^{2}\end{array}\right]$$$

La calculatrice trouvera les valeurs propres et les vecteurs propres de la matrice carrée $$$2$$$x$$$2$$$ $$$\left[\begin{array}{cc}2 t^{2} & - t^{2}\\- t^{2} & t^{2}\end{array}\right]$$$, en montrant les étapes.

Calculatrice associée: Calculatrice de polynôme caractéristique

A

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Votre saisie

Trouvez les valeurs propres et les vecteurs propres de $$$\left[\begin{array}{cc}2 t^{2} & - t^{2}\\- t^{2} & t^{2}\end{array}\right]$$$.

Solution

Commencez par former une nouvelle matrice en soustrayant $$$\lambda$$$ aux éléments de la diagonale de la matrice donnée : $$$\left[\begin{array}{cc}- \lambda + 2 t^{2} & - t^{2}\\- t^{2} & - \lambda + t^{2}\end{array}\right]$$$.

Le déterminant de la matrice obtenue est $$$\lambda^{2} - 3 \lambda t^{2} + t^{4}$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de déterminant).

Résoudre l’équation $$$\lambda^{2} - 3 \lambda t^{2} + t^{4} = 0$$$.

Les racines sont $$$\lambda_{1} = \frac{t^{2} \left(3 - \sqrt{5}\right)}{2}$$$, $$$\lambda_{2} = \frac{t^{2} \left(\sqrt{5} + 3\right)}{2}$$$ (pour les étapes, voir solveur d'équations).

Ce sont les valeurs propres.

Ensuite, trouvez les vecteurs propres.

  • $$$\lambda = \frac{t^{2} \left(3 - \sqrt{5}\right)}{2}$$$

    $$$\left[\begin{array}{cc}- \lambda + 2 t^{2} & - t^{2}\\- t^{2} & - \lambda + t^{2}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}- \frac{t^{2} \left(3 - \sqrt{5}\right)}{2} + 2 t^{2} & - t^{2}\\- t^{2} & - \frac{t^{2} \left(3 - \sqrt{5}\right)}{2} + t^{2}\end{array}\right]$$$

    L’espace nul de cette matrice est $$$\left\{\left[\begin{array}{c}\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de l’espace nul).

    C'est le vecteur propre.

  • $$$\lambda = \frac{t^{2} \left(\sqrt{5} + 3\right)}{2}$$$

    $$$\left[\begin{array}{cc}- \lambda + 2 t^{2} & - t^{2}\\- t^{2} & - \lambda + t^{2}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}- \frac{t^{2} \left(\sqrt{5} + 3\right)}{2} + 2 t^{2} & - t^{2}\\- t^{2} & - \frac{t^{2} \left(\sqrt{5} + 3\right)}{2} + t^{2}\end{array}\right]$$$

    L’espace nul de cette matrice est $$$\left\{\left[\begin{array}{c}- \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de l’espace nul).

    C'est le vecteur propre.

Réponse

Valeur propre : $$$\frac{t^{2} \left(3 - \sqrt{5}\right)}{2}\approx 0.381966011250105 t^{2}$$$A, multiplicité : $$$1$$$A, vecteurs propres : $$$\left[\begin{array}{c}\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\\1\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{c}0.618033988749895\\1\end{array}\right]$$$A.

Valeur propre : $$$\frac{t^{2} \left(\sqrt{5} + 3\right)}{2}\approx 2.618033988749895 t^{2}$$$A, multiplicité : $$$1$$$A, vecteurs propres : $$$\left[\begin{array}{c}- \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\\1\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{c}-1.618033988749895\\1\end{array}\right]$$$A.


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