Décomposition en valeurs singulières de $$$\left[\begin{array}{c}2 \sqrt{2}\\2 \sqrt{2}\end{array}\right]$$$

Déterminez la décomposition en valeurs singulières (SVD) de $$$\left[\begin{array}{c}2 \sqrt{2}\\2 \sqrt{2}\end{array}\right]$$$.

Trouvez la transposée de la matrice : $$$\left[\begin{array}{c}2 \sqrt{2}\\2 \sqrt{2}\end{array}\right]^{T} = \left[\begin{array}{cc}2 \sqrt{2} & 2 \sqrt{2}\end{array}\right]$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de transposée de matrice).

Multipliez la matrice par sa transposée : $$$W = \left[\begin{array}{c}2 \sqrt{2}\\2 \sqrt{2}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}2 \sqrt{2} & 2 \sqrt{2}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}8 & 8\\8 & 8\end{array}\right]$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de multiplication de matrices).

Maintenant, trouvez les valeurs propres et les vecteurs propres de $$$W$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de valeurs propres et de vecteurs propres).

Valeur propre : $$$16$$$, vecteur propre : $$$\left[\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right]$$$.

Valeur propre : $$$0$$$, vecteur propre : $$$\left[\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right]$$$.

Trouvez les racines carrées des valeurs propres non nulles ($$$\sigma_{i}$$$) :

$$$\sigma_{1} = 4$$$

La matrice $$$\Sigma$$$ est une matrice nulle avec $$$\sigma_{i}$$$ sur sa diagonale : $$$\Sigma = \left[\begin{array}{c}4\\0\end{array}\right]$$$.

Les colonnes de la matrice $$$U$$$ sont les vecteurs normalisés (unitaires) : $$$U = \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & - \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]$$$ (pour les étapes permettant de trouver un vecteur unitaire, voir calculateur de vecteur unitaire).

Maintenant, $$$v_{i} = \frac{1}{\sigma_{i}}\cdot \left[\begin{array}{c}2 \sqrt{2}\\2 \sqrt{2}\end{array}\right]^{T}\cdot u_{i}$$$:

$$$v_{1} = \frac{1}{\sigma_{1}}\cdot \left[\begin{array}{c}2 \sqrt{2}\\2 \sqrt{2}\end{array}\right]^{T}\cdot u_{1} = \frac{1}{4}\cdot \left[\begin{array}{cc}2 \sqrt{2} & 2 \sqrt{2}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}\frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}1\end{array}\right]$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de multiplication d'une matrice par un scalaire et calculatrice de multiplication de matrices).

Donc, $$$V = \left[\begin{array}{c}1\end{array}\right]$$$.

Les matrices $$$U$$$, $$$\Sigma$$$ et $$$V$$$ sont telles que la matrice initiale satisfait $$$\left[\begin{array}{c}2 \sqrt{2}\\2 \sqrt{2}\end{array}\right] = U \Sigma V^T$$$.

$$$U = \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & - \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{cc}0.707106781186548 & -0.707106781186548\\0.707106781186548 & 0.707106781186548\end{array}\right]$$$A

$$$\Sigma = \left[\begin{array}{c}4\\0\end{array}\right]$$$A

$$$V = \left[\begin{array}{c}1\end{array}\right]$$$A