Valeurs propres et vecteurs propres de $$$\left[\begin{array}{cc}8 & 8\\8 & 8\end{array}\right]$$$

Trouvez les valeurs propres et les vecteurs propres de $$$\left[\begin{array}{cc}8 & 8\\8 & 8\end{array}\right]$$$.

Commencez par former une nouvelle matrice en soustrayant $$$\lambda$$$ aux éléments de la diagonale de la matrice donnée : $$$\left[\begin{array}{cc}8 - \lambda & 8\\8 & 8 - \lambda\end{array}\right]$$$.

Le déterminant de la matrice obtenue est $$$\lambda \left(\lambda - 16\right)$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de déterminant).

Résoudre l’équation $$$\lambda \left(\lambda - 16\right) = 0$$$.

Les racines sont $$$\lambda_{1} = 16$$$, $$$\lambda_{2} = 0$$$ (pour les étapes, voir solveur d'équations).

Ce sont les valeurs propres.

Ensuite, trouvez les vecteurs propres.

• $$$\lambda = 16$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}8 - \lambda & 8\\8 & 8 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}-8 & 8\\8 & -8\end{array}\right]$$$

  L’espace nul de cette matrice est $$$\left\{\left[\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de l’espace nul).

  C'est le vecteur propre.

• $$$\lambda = 0$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}8 - \lambda & 8\\8 & 8 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}8 & 8\\8 & 8\end{array}\right]$$$

  L’espace nul de cette matrice est $$$\left\{\left[\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de l’espace nul).

  C'est le vecteur propre.

Valeur propre : $$$16$$$A, multiplicité : $$$1$$$A, vecteurs propres : $$$\left[\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right]$$$A.

Valeur propre : $$$0$$$A, multiplicité : $$$1$$$A, vecteurs propres : $$$\left[\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right]$$$A.