Réciproque de $$$\left[\begin{array}{cc}5 & 2\\1 & 1\end{array}\right]$$$

Calculez $$$\left[\begin{array}{cc}5 & 2\\1 & 1\end{array}\right]^{-1}$$$ en utilisant l'élimination de Gauss-Jordan.

Pour trouver la matrice inverse, formez la matrice augmentée avec la matrice identité et effectuez des opérations élémentaires sur les lignes afin d’obtenir la matrice identité à gauche. La matrrice située à droite sera alors l’inverse.

Donc, augmentez la matrice par la matrice identité :

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}5 & 2 & 1 & 0\\1 & 1 & 0 & 1\end{array}\right]$$$

Divisez la ligne $$$1$$$ par $$$5$$$ : $$$R_{1} = \frac{R_{1}}{5}$$$.

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & 0\\1 & 1 & 0 & 1\end{array}\right]$$$

Soustraire la ligne $$$1$$$ à la ligne $$$2$$$: $$$R_{2} = R_{2} - R_{1}$$$.

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & 0\\0 & \frac{3}{5} & - \frac{1}{5} & 1\end{array}\right]$$$

Multipliez la ligne $$$2$$$ par $$$\frac{5}{3}$$$ : $$$R_{2} = \frac{5 R_{2}}{3}$$$.

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & 0\\0 & 1 & - \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right]$$$

Soustraire $$$\frac{2}{5}$$$ fois la ligne $$$2$$$ à la ligne $$$1$$$: $$$R_{1} = R_{1} - \frac{2 R_{2}}{5}$$$.

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & 0 & \frac{1}{3} & - \frac{2}{3}\\0 & 1 & - \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right]$$$

Nous avons terminé. À gauche se trouve la matrice identité. À droite se trouve la matrice inverse.

La matrice inverse est $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3} & - \frac{2}{3}\\- \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{cc}0.333333333333333 & -0.666666666666667\\-0.333333333333333 & 1.666666666666667\end{array}\right].$$$A