Réciproque de $$$\left[\begin{array}{cc}5 & 10\\10 & 25\end{array}\right]$$$

Calculez $$$\left[\begin{array}{cc}5 & 10\\10 & 25\end{array}\right]^{-1}$$$ en utilisant l'élimination de Gauss-Jordan.

Pour trouver la matrice inverse, formez la matrice augmentée avec la matrice identité et effectuez des opérations élémentaires sur les lignes afin d’obtenir la matrice identité à gauche. La matrrice située à droite sera alors l’inverse.

Donc, augmentez la matrice par la matrice identité :

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}5 & 10 & 1 & 0\\10 & 25 & 0 & 1\end{array}\right]$$$

Divisez la ligne $$$1$$$ par $$$5$$$ : $$$R_{1} = \frac{R_{1}}{5}$$$.

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & 2 & \frac{1}{5} & 0\\10 & 25 & 0 & 1\end{array}\right]$$$

Soustraire $$$10$$$ fois la ligne $$$1$$$ à la ligne $$$2$$$: $$$R_{2} = R_{2} - 10 R_{1}$$$.

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & 2 & \frac{1}{5} & 0\\0 & 5 & -2 & 1\end{array}\right]$$$

Divisez la ligne $$$2$$$ par $$$5$$$ : $$$R_{2} = \frac{R_{2}}{5}$$$.

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & 2 & \frac{1}{5} & 0\\0 & 1 & - \frac{2}{5} & \frac{1}{5}\end{array}\right]$$$

Soustraire $$$2$$$ fois la ligne $$$2$$$ à la ligne $$$1$$$: $$$R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$$$.

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & 0 & 1 & - \frac{2}{5}\\0 & 1 & - \frac{2}{5} & \frac{1}{5}\end{array}\right]$$$

Nous avons terminé. À gauche se trouve la matrice identité. À droite se trouve la matrice inverse.

La matrice inverse est $$$\left[\begin{array}{cc}1 & - \frac{2}{5}\\- \frac{2}{5} & \frac{1}{5}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1 & -0.4\\-0.4 & 0.2\end{array}\right].$$$A