Calculatrice de l'inverse d'une matrice
Calculer l'inverse d'une matrice étape par étape
La calculatrice trouvera l’inverse (s’il existe) d’une matrice carrée en utilisant la méthode d’élimination de Gauss ou la méthode de la matrice adjointe, avec les étapes affichées.
Calculatrices associées: Calculatrice d'élimination de Gauss-Jordan, Calculatrice de pseudo-inverse
Votre saisie
Calculez $$$\left[\begin{array}{cc}2 & 1\\1 & 3\end{array}\right]^{-1}$$$ en utilisant l'élimination de Gauss-Jordan.
Solution
Pour trouver la matrice inverse, formez la matrice augmentée avec la matrice identité et effectuez des opérations élémentaires sur les lignes afin d’obtenir la matrice identité à gauche. La matrrice située à droite sera alors l’inverse.
Donc, augmentez la matrice par la matrice identité :
$$$\left[\begin{array}{cc|cc}2 & 1 & 1 & 0\\1 & 3 & 0 & 1\end{array}\right]$$$
Divisez la ligne $$$1$$$ par $$$2$$$ : $$$R_{1} = \frac{R_{1}}{2}$$$.
$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\1 & 3 & 0 & 1\end{array}\right]$$$
Soustraire la ligne $$$1$$$ à la ligne $$$2$$$: $$$R_{2} = R_{2} - R_{1}$$$.
$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\0 & \frac{5}{2} & - \frac{1}{2} & 1\end{array}\right]$$$
Multipliez la ligne $$$2$$$ par $$$\frac{2}{5}$$$ : $$$R_{2} = \frac{2 R_{2}}{5}$$$.
$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\0 & 1 & - \frac{1}{5} & \frac{2}{5}\end{array}\right]$$$
Soustraire $$$\frac{1}{2}$$$ fois la ligne $$$2$$$ à la ligne $$$1$$$: $$$R_{1} = R_{1} - \frac{R_{2}}{2}$$$.
$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & 0 & \frac{3}{5} & - \frac{1}{5}\\0 & 1 & - \frac{1}{5} & \frac{2}{5}\end{array}\right]$$$
Nous avons terminé. À gauche se trouve la matrice identité. À droite se trouve la matrice inverse.
Réponse
La matrice inverse est $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{3}{5} & - \frac{1}{5}\\- \frac{1}{5} & \frac{2}{5}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}0.6 & -0.2\\-0.2 & 0.4\end{array}\right].$$$A