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Valeurs propres et vecteurs propres de $$$\left[\begin{array}{cc}5 & 11\\11 & 25\end{array}\right]$$$

La calculatrice trouvera les valeurs propres et les vecteurs propres de la matrice carrée $$$2$$$x$$$2$$$ $$$\left[\begin{array}{cc}5 & 11\\11 & 25\end{array}\right]$$$, en montrant les étapes.

Calculatrice associée: Calculatrice de polynôme caractéristique

A

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Votre saisie

Trouvez les valeurs propres et les vecteurs propres de $$$\left[\begin{array}{cc}5 & 11\\11 & 25\end{array}\right]$$$.

Solution

Commencez par former une nouvelle matrice en soustrayant $$$\lambda$$$ aux éléments de la diagonale de la matrice donnée : $$$\left[\begin{array}{cc}5 - \lambda & 11\\11 & 25 - \lambda\end{array}\right]$$$.

Le déterminant de la matrice obtenue est $$$\lambda^{2} - 30 \lambda + 4$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de déterminant).

Résoudre l’équation $$$\lambda^{2} - 30 \lambda + 4 = 0$$$.

Les racines sont $$$\lambda_{1} = 15 - \sqrt{221}$$$, $$$\lambda_{2} = \sqrt{221} + 15$$$ (pour les étapes, voir solveur d'équations).

Ce sont les valeurs propres.

Ensuite, trouvez les vecteurs propres.

  • $$$\lambda = 15 - \sqrt{221}$$$

    $$$\left[\begin{array}{cc}5 - \lambda & 11\\11 & 25 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}-10 + \sqrt{221} & 11\\11 & 10 + \sqrt{221}\end{array}\right]$$$

    L’espace nul de cette matrice est $$$\left\{\left[\begin{array}{c}- \frac{10 + \sqrt{221}}{11}\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de l’espace nul).

    C'est le vecteur propre.

  • $$$\lambda = \sqrt{221} + 15$$$

    $$$\left[\begin{array}{cc}5 - \lambda & 11\\11 & 25 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}- \sqrt{221} - 10 & 11\\11 & 10 - \sqrt{221}\end{array}\right]$$$

    L’espace nul de cette matrice est $$$\left\{\left[\begin{array}{c}\frac{-10 + \sqrt{221}}{11}\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de l’espace nul).

    C'est le vecteur propre.

Réponse

Valeur propre : $$$15 - \sqrt{221}\approx 0.133931252681494$$$A, multiplicité : $$$1$$$A, vecteurs propres : $$$\left[\begin{array}{c}- \frac{10 + \sqrt{221}}{11}\\1\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{c}-2.260551704301682\\1\end{array}\right]$$$A.

Valeur propre : $$$\sqrt{221} + 15\approx 29.866068747318506$$$A, multiplicité : $$$1$$$A, vecteurs propres : $$$\left[\begin{array}{c}\frac{-10 + \sqrt{221}}{11}\\1\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{c}0.442369886119864\\1\end{array}\right]$$$A.


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